Матричное алгебраическое уравнение Риккати

[sasha-parazit]

Матричное алгебраическое уравнение Риккати имеет вид:
$F^TX + XF - XGX + H = 0,$
где $F,G,H $ -- известные вещественные матрицы $n\times n$, $G=G^T\geq 0$, $H=H^T\geq 0$, а $X$ -- неизвестная матрица, того же размера.

Помогите, пожалуйста, доказать существования симметричного положительного определенного решения этого уравнения (возможно для этого нужны дополнительные условия на $F,G,H $).

[Евгений Машеров]

А Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений не подскажет?
https://www.twirpx.com/file/2875408/

[DeBill]

sasha-parazit
Доп. условия какие то всяко нужны (напр, если $F,G$ - нулевые, а $H$ - нет, то решений нет).
Думается, хорошее доп условие состоит в положительной определенности матрицы $G$....
1. Одномерная задача - решабельна (умеете, да? Выделяем полный квадрат, извлекаем корень - и оляля.)
2. Из симметричной положительно (неотрицательно) определенной $G$ корень извлекаем: $G = Z^TZ$.
3. Уравнение Ваше - шибко симметричное....А нельзя ли повторить 1) с учетом 2) ?

[novichok2018]

Есть специальная книга:
Егоров А. И. Уравнения Риккати, — Физматлит, Москва, 2001.

[Евгений Машеров]

У Икрамова с 17 параграфа. Но, видимо, надо будет за подробностями по ссылкам идти.

[B@R5uk]

sasha-parazit в сообщении #1402363 писал(а):

Помогите, пожалуйста, доказать существования симметричного положительного определенного решения этого уравнения

А у вас уравнение точно правильно записано? Там не надо случайно транспонировать икс, когда он стоит первым в произведении (как это сделано для матрицы F)?

С другой стороны, если транспонировать всё уравнение целиком, то получится

$$F^TX^T + X^TF - X^TGX^T + H = 0$$

и если $X = X^T$, то уравнение перейдёт само в себя...

[Евгений Машеров]

Насколько я понимаю, там транспонирование икса и во втором слагаемом, и в произведении, но ТС интересует только симметричное решение, и оттого-то транспонированием пренебрегаем.

[B@R5uk]

Теперь, если вычесть транспонированное уравнение из оригинала, то избавимся от матрицы H. Дальше можно сделать замену $Y=X-X^T$, и, если удастся доказать, что уравнение

$$F^TY + YF - YGY = 0$$

имеет только нулевые решения, это будет как раз то, что нужно топикстартеру. Не представляю как это можно сделать, но из этого доказательства все дополнительные требования на F и G как раз и вылезут (от H ничего больше требовать не надо).

[Евгений Машеров]

B@R5uk в сообщении #1402756 писал(а):

Теперь, если вычесть транспонированное уравнение из оригинала, то избавимся от матрицы H.

А заодно от всего уравнения. Придя к Главному Закону Математической Экономики
$0=0$

[Евгений Машеров]

http://matlab.exponenta.ru/mu_analys/book2/1_6.php

[sasha-parazit]

Большое спасибо всем участникам дискуссии, очень помогли советы и ссылки.
Последняя ссылка http://matlab.exponenta.ru/mu_analys/book2/1_6.php очень помогла. Большое спасибо, Евгений.

Рассмотрим матрицу

$$ Z = \begin{pmatrix} F & -G\\ -H & -F^T \end{pmatrix}.$$

Лемма 1. Спектр \sigma(Z) матрицы Z симметричен относительно мнимой оси.
Утверждение леммы сразу следует из равенства $J^TZJ = - Z^T$, где $J = \begin{pmatrix} 0 & E\\ -E & 0\end{pmatrix}$, $E,0$ -- матрицы размера $n \times n $.
Предположение 1. Матрица Z не имеет чисто мнимых собственных значений.
При сделанном предположении инвариантное пространство матрицы, назовем его $Z^-$, соответствующее собственным значениям $Z$ с отрицательной вещественной частью $n$-мерно.
Это пространство есть сумма корневых пространств для собственных чисел с отрицательной вещественной частью.
Существует ортогональная матрица $U = \begin{pmatrix} U_{11} & U_{12}\\ U_{21} & U_{22} \end{pmatrix} $, т.ч. вектора-столбцы матрицы $\begin{pmatrix} U_{11} \\ U_{21} \end{pmatrix}$ являются ортогональным базисом пространства $Z^-$, а остальные вектора-столбцы матрицы $U$дополняют первые $n$ до ортогонального базиса всего пространства. (Все матрицы $U_{ij}$ имеют размеры $n \times n$.)
Тогда имеет место равенство
$U^T Z U = \begin{pmatrix} S_{11} & S_{12} \\0 & S_{22} \end{pmatrix}$, где $\sigma(S_{11})$ совпадает с левой от мнимой оси частью $\sigma(Z)$.

Предположение 2. Матрица Z такова, что пространство $Z^-$ содержит ровно один вектор с первыми $n$ нулевыми координатами.
Этот вектор и все остальные координаты имеет нулевые
Предположение 2 эквивалентно требованию обратимости матрицы $U_{11}$.
Лемма 2. Матрица $X_0 = U_{21}U_{11}^{-1}$ является решением уравнения Риккати.
Доказательство леммы 2. Легко проверить, что имеет место равенство
$Z \begin{pmatrix} U_{11} \\ U_{21} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} U_{11} \\ U_{21} \end{pmatrix} S_{11}$.
Тогда
$FU_{11}-GU_{21} = U_{11}S_{11}, $
$-HU_{11}-F^TU_{21} = U_{21}S_{11}.$
Домножим каждое из этих уравнений справа на $U_{11}^{-1}$ получим
$F-GX_0 = U_{11}S_{11}U_{11}^{-1}, $
$-H-F^TX_0 = U_{21}S_{11}U_{11}^{-1}.$
Теперь домножим первое уравнение на $X_0$слева и вычтем из него второе:
$F^TX_0 + X_0F - X_0GX_0 + H = X_0U_{11}S_{11}U_{11}^{-1} - U_{21}S_{11}U_{11}^{-1}.$
Правая часть полученного уравнения равна 0. Лемма 2 доказана.

Осталось доказать симметричность матрицы $X_0$, а также её положительную полуопределенность.
Лемма 3. Матрица $X_0 = U_{21}U_{11}^{-1}$ является симметричной и имеет место неравенство $X_0 \geq 0$.
Доказательство леммы 3. Рассмотрим функцию $V(t) = \begin{pmatrix} U_{11} \\ U_{21} \end{pmatrix} \exp(tS_11) $, а также $V(t) =V^T(t)LV(T)$, где $L = \begin{pmatrix} 0& E \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $. В силу того, что $\sigma(S_{11})$ расположен левее мнимой оси, обе этих функции со всем производными при $t \to + \infty$ стремятся к 0.
Заметим, что $V'(t) = V(t)S_{11} = ZV(t)$. Тогда
$W'(t) = V'^T(t)LV(t) + V^T(t)LV'(T) = V^T(t)(Z^TL + LZ)V(t) = V^T(t)\begin{pmatrix} -H& 0 \\ 0 & -G \end{pmatrix} V(t)$.
Значит $W'(t) симметрична и выполнено неравенство $W'(t) \leq 0.
Так как $W(+\infty) = 0$, то получается, что $W(0)$ - симметрично и $W(0) \geq 0$.
Но $W(0) = U_{11}^TU_{21}$, а тогда $X_0 = (U_{11}^{-1})^TW(0)U_{11}^{-1}$.
Следовательно, матрица $X_0 $ является симметричной и имеет место неравенство $X_0 \geq 0$.
Лемма 3 доказана.

-- Пн июл 08, 2019 21:31:17 --

Остался вопрос:
Что потребовать от матриц матрицы $F,G,H$, чтобы предположения 1 и 2 выполнялись, и при этом условия были достаточно общими и легко проверяемыми?