Доказательство из учебника логики Мендельсона

[nide9]

Страницы 31-32 в издании 1971 года.
Предложение 1.4. Всякая истинностная функция порождается некоторой пропозициональной формой, содержащей связки $ \lnot $, $ \& $ и $ \vee $.
В доказательстве говорится, что если функция всегда принимает значение Л, то теореме удовлетворяет форма $ A_1 \& \lnot A_1 $. Мне кажется, это ошибка.
Такая форма удовлетворяет теореме только тогда, когда дана истинностная функция от одного аргумента. Если взять отрицание тавтологии, содержащей разные пропозициональные буквы (например, $ \lnot ((A_1 \& A_2)\supset A_2) $ ), то получим истинностную функцию от нескольких аргументов, которая всегда принимает значение Л. И тогда теореме не будет удовлетворять форма $ A_1 \& \lnot A_1 $

[arseniiv]

Это может быть лишь методической неточностью. Посмотрите, требуется ли, чтобы «форма, содержащая $n$ пропозициональных букв» (точная цитата из начала §3) явно содержала каждую букву, а не могла содержать только некоторое их подмножество. Часто это естественное понимание (главное чтобы она не содержала какие-то лишние), и потому не нужно будет включать в форму для Л другие буквы. Если же книга придерживается того, что все буквы должны входить хоть по разу, то можно просто продолжить конъюнкцию дальше: $A_1\mathbin\& \neg A_1\mathbin\& A_2\mathbin\&\neg A_2\mathbin\&\ldots$, чтобы включала все $A_1,\ldots,A_n$.

[nide9]

arseniiv в сообщении #1402230 писал(а):

Это может быть лишь методической неточностью. Посмотрите, требуется ли, чтобы «форма, содержащая $n$ пропозициональных букв» (точная цитата из начала §3) явно содержала каждую букву, а не могла содержать только некоторое их подмножество. Часто это естественное понимание (главное чтобы она не содержала какие-то лишние), и потому не нужно будет включать в форму для Л другие буквы. Если же книга придерживается того, что все буквы должны входить хоть по разу, то можно просто продолжить конъюнкцию дальше: $A_1\mathbin\& \neg A_1\mathbin\& A_2\mathbin\&\neg A_2\mathbin\&\ldots$, чтобы включала все $A_1,\ldots,A_n$.

Я бы к функции, которая всегда принимает ложные значения, начал строить пропозициональную форму по алгоритму из доказательства так, как будто эта функция всегда принимает истинные значения, а потом поставил бы перед этой формой знак отрицания.
Скорее всего вы правы насчет "естественного понимания", спасибо.

[arseniiv]

nide9 в сообщении #1402242 писал(а):

Я бы к функции, которая всегда принимает ложные значения, начал строить пропозициональную форму по алгоритму из доказательства так, как будто эта функция всегда принимает истинные значения, а потом поставил бы перед этой формой знак отрицания.

Можно и так! Вообще можно много придумать способов.