Канал поворачивает; бревно какой длины может проплыть

[ОЛЬГА1313]

Канал, берега которого параллельные прямые, поворачивает под прямым углом, причём до поворота его ширина a, а после поворота – b. При какой длине d через такой поворот может проплыть тонкое бревно?

[Dan_Te]

Получился ответ $d=\sqrt{b^2+\sqrt[3]{a^2 b^4}+\sqrt{a^2+\sqrt[3]{a^4 b^2}$

[незваный гость]

А у меня получилось $d = \sqrt{\left(a +\sqrt[3]{a^2 b}\right)^2 + \left(b +\sqrt[3]{b^2 a}\right)^2} = $ $ (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) \sqrt{a^{4/3}+b^{4/3}}$. Сверим часы?

[LynxGAV]

Помню, раз часы уже сверяли .

Dan_Te, надо подправить.

[Dan_Te]

Если сделать скидку на то, что я неправильно записал формулу (первый большой корень должен идти только на первые два слагаемых), то у нас совпало.

[незваный гость]

Скидку охотно сделаем, как постоянному покупателю. Или как взятку властям придержащим, в рамках общей коррумпированности. Но формулы все равно не совпадут. У меня получится другое выражение под кубическим корнем:
$d=\sqrt{b^2+\sqrt[3]{a^4 b^2}}+\sqrt{a^2+\sqrt[3]{a^2 b^4}}$.

[Аурелиано Буэндиа]

Вот еще один ответ: $d<= (a^{2/3}+b^{2/3})^{3/2}$

Вот весело
Может пари у кого правильно?

[незваный гость]

Вы оба правы . Это я в трех корнях заблудился.

[AHOHbIMHO]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Вот еще один ответ: $d<= (a^{2/3}+b^{2/3})^{3/2}$

Вот весело
Может пари у кого правильно?

У меня тоже такой ответ

[bekas]

Если уж пошел такой разнобой в ответах, может быть все же кто-то воспроизведет ход своих мыслей при решении задачи?

[AHOHbIMHO]

bekas писал(а):

Если уж пошел такой разнобой в ответах, может быть все же кто-то воспроизведет ход своих мыслей при решении задачи?

Пусть внешний берег совпдает с положительными полуосями xOy, внутренний угол находится в точке x=a,y=b. Бревно длиной d, находящееся впритык ко внешему берегу под острым углом $\phi$ к оси Ox описывается уравнением $y=-\tg{(\phi)} x + d \sin{(\phi)}$. Координата y точки на бревне при x=a должна быть меньше b. т.е. $\max|_{\phi}(-\tg{(\phi)} a + d \sin{(\phi)})\le b$. Максимум координаты достигается при угле, который находится из уравнения $\frac{\partial}{\partial \phi}\left(-\tg{(\phi)} a + d \sin{(\phi)}\right)=0$. Угол получается следующий: $\cos{(\phi)}=(a/d)^{1/3}$.
Его подставляем сюда:
$(-\frac{a}{\cos{(\phi)}} + d ) \sqrt{1-\cos^2{(\phi)}}\le b$
и получаем ответ:
$d<= (a^{2/3}+b^{2/3})^{3/2}$

[Dan_Te]

Да, блин! В задаче обнаружилась неожиданная трудность - нужно не только решить, но и аккуратно записать ответ =)))

[ОЛЬГА1313]

Ну, вы, ребята, даёте! Спасибочки!