2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Трёхточечная корреляционная функция в конформной теории
Сообщение26.06.2019, 06:17 
Аватара пользователя


04/12/10
115
Известно, что трёхточечная корреляционная функция для трёх данных скалярных полей в конформно инвариантной теории имеет вид
$$
\langle \phi_1(x_1) \phi_2(x_2) \phi_3(x_3) \rangle = \frac{c}{x_{12}^{\Delta - 2 \Delta_3} x_{23}^{\Delta - 2 \Delta_1} x_{13}^{\Delta - 2 \Delta_2}} \qquad x_{ij} = |x_i - x_j|\,,\quad \Delta = \Delta_1 + \Delta_2 + \Delta_3\,.
$$
Как показать это?
Иными словами, как показать, что функция $f: \mathbb R^d \times \mathbb R^d \times \mathbb R^d \to \mathbb C$, для которой верно
$$
f(x, y, z)
= \left|\frac{\partial x'}{\partial  x}\right|^{\Delta_1 / d}_{x}
  \left|\frac{\partial  x'}{\partial  x}\right|^{\Delta_2 / d}_{y}
  \left|\frac{\partial  x'}{\partial  x}\right|^{\Delta_3 / d}_{z}
  f(x', y', z')
$$
для любых $x,y,z \in \mathbb R^d$ и их образов $x', y', z'$ относительно любого конформного преобразования, это непременно
$$
f(x, y, z) =
\frac{c}{|x - y|^{\Delta - 2 \Delta_3} |y - z|^{\Delta - 2 \Delta_1} |x - z|^{\Delta - 2 \Delta_2}} \qquad \Delta = \Delta_1 + \Delta_2 + \Delta_3\,.
$$

Для двухточечной $f(x, y)$ легко видеть, что инвариантность относительно трансляций влечёт $f = f(x - y)$, инвариантность относительно вращений влечёт $f = f(|x - y|)$, инвариантность относительно дилатаций даёт
$$
f(t) = \lambda^{\Delta_1 + \Delta_2} f(\lambda t) \qquad t = |x - y|\,.
$$
Дифференцируя по $\lambda$, подставляя $\lambda = 1$ получае дифур, решения которого имеют вид $f(t) = \frac{c}{t^{\Delta_1 + \Delta_2}}$. Инвариантность относительно специальных конформных преобразований фиксирует ещё жёстче.

С трёхточкой же сходу не видно, почему необходимо $f = f(|x - y|, |y - z|, |x - z|)$. Хотелось бы аккуратного аргумента, а не "ну, ничё другого ж не напишешь)0))". Хочется придать чуть более чёткий вид словам типа "трансляциями и отраженими можно перевести любой треугольник с вершинами в $x, y, z$ в любой треугольник с такими же длинами сторон; значения функций на всех таких треугольниках совпадают; значит это функция от классов эквивалентности треугольников относительно подобия; значит это функция длин его сторон".

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхточечная корреляционная функция в конформной теории
Сообщение26.06.2019, 12:52 
Заслуженный участник


29/12/14
504
Если мне не изменяет память, то утверждение, что для корреляционных функций quasi-primary полей (я это всё не на русском учил, так что извиняюсь за англицизм) в $2\mathrm{d}$ конформной теории поля верно, что относительно конформных диффеоморфизмов
$$\langle \varphi_1(z_1) ... \varphi_n(z_n) \rangle = \langle \varphi'_1(z'_1) ... \varphi'_n(z'_n) \rangle_{z' \to z}$$
Для простоты ограничимся киральными полями, так что
$$\varphi'(z) = \left(\frac{\partial z'}{\partial z}\right)^{-h} \varphi(z'(z))$$

Рассмотрим трёхточечную корреляционную функцию, обозначив её $g(z_1,z_2,z_3)$:

1. Из траснляционной инвариантности следует, что
$$g(z_1,z_2,z_3) = g(z_1 + a, z_2 + a, z_3 + a),$$
так что
$$g(z_1,z_2,z_3) = g(z_1 - z_2,z_2 - z_3,z_1 - z_3).$$

2. Из инвариантности относительно растяжений следует:
$$g(z_1 - z_2,z_2 - z_3,z_1 - z_3) = \lambda^{-h_1 - h_2 - h_3} g\left(\lambda(z_1 - z_2),\lambda(z_2 - z_3),\lambda(z_1 - z_3)\right),$$
откуда
$$g(z_1 - z_2,z_2 - z_3,z_1 - z_3) = \frac{C_{123}}{(z_1 - z_2)^{\alpha} (z_2 - z_3)^{\beta} (z_1 - z_3)^{\gamma}},$$
где $\alpha + \beta + \gamma = -(h_1 + h_2 + h_3).$

3. Из инвариантности относительно специального конформного преобразования, $z'_i = -1/z_i:$
$$\begin{align}
\frac{C_{123}}{(z_1 - z_2)^{\alpha} (z_2 - z_3)^{\beta} (z_1 - z_3)^{\gamma}} 
&=
z_1^{2h_1} z_2^{2h_2} z_3^{2h_3} \frac{C_{123}}{(-1/z_1 + 1/z_2)^{\alpha} (-1/z_2 + 1/z_3)^{\beta} (-1/z_1 + 1/z_3)^{\gamma}} \\
&= z_1^{2h_1 + \alpha + \gamma} z_2^{2h_2 + \alpha + \beta} z_3^{2h_3 + \beta + \gamma} \frac{C_{123}}{(z_1 - z_2)^{\alpha} (z_2 - z_3)^{\beta} (z_1 - z_3)^{\gamma}},
\end{align}$$
откуда
$$\begin{cases}
2 h_1 + \alpha + \gamma = 0,\\
2 h_2 + \alpha + \beta = 0,\\
2 h_3 + \beta + \gamma = 0,
\end{cases}$$
так что $\alpha = -h_1 + h_2 + h_3$, $\beta = h_1 - h_2 - h_3$, $\gamma = -h_1 + h_2 - h_3$, поэтому
$$\langle \varphi_1(z_1) \varphi_3(z_2) \varphi_3(z_3) \rangle = \frac{C_{123}}{(z_1 - z_2)^{-h_1 + h_2 + h_3} (z_2 - z_3)^{h_1 - h_2 - h_3} (z_1 - z_3)^{-h_1 + h_2 - h_3}}.$$

Где-то могут быть ошибки, но в целом ход мыслей примерно такой вроде как. А, ну и я по привычке рассматривал $2\mathrm{d}$ (то есть $\mathrm{S}^2$), так что у меня группа $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$, ну или как там это всё грамотно говорится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхточечная корреляционная функция в конформной теории
Сообщение15.06.2023, 12:51 


15/06/23
1
Да, во 2 пункте ошибка, там должно быть $+h_1+h_2+h_3$. Ответ из-за этого дальше тоже пополз.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group