Размерности

[Vladimirkey]

Добрый день. В физике существуют для вводимой физической величины размерности, они могут быть разные в зависимости от того, как мы однозначно определим единицу для такой физической величины.

К примеру, $1$ кг, есть эталон килограмма, который однозначно определен, его размерность кг и так казалось бы с каждой физической величиной, но не тут то было, возникла следующая проблема.

Например, почему количество оборотов, колебаний не имеет размерности, мы просто говорим $1$ оборот, $1$ колебание, являются ли в таком случае "Оборот", "Колебание" размерностями этих величин, если нет, то какая у них размерность? В физике, да и в целом нужно ведь однозначно определить, что является единицей и дать ей размерность, но здесь единица есть, а размерности нет.

В общем, это такой вопрос к величинам, которые нужно пересчитать, можно еще привести пример: при подсчете количества частиц ($2$ частицы, что здесь размерность, "частица"?), либо даже взять банально подсчет чего-либо в повседневной жизни (компьютеров, установок (напр. $4$ установки, прибора), не важно что, при подсчете количества что является размерностью для единицы, которую мы подсчитываем?

[DimaM]

В физике бывают безразмерные величины.

[Munin]

Vladimirkey в сообщении #1401397 писал(а):

Например, почему количество оборотов, колебаний не имеет размерности, мы просто говорим $1$ оборот, $1$ колебание, являются ли в таком случае "Оборот", "Колебание" размерностями этих величин, если нет, то какая у них размерность? В физике, да и в целом нужно ведь однозначно определить, что является единицей и дать ей размерность, но здесь единица есть, а размерности нет.

"Нет размерности", "безразмерная величина" - это просто слова, означающие "размерность 1".

Размерность - это выражение из базовых размерностей в каких-то степенях. Например, в механике все величины - имеют размерность вида $\mathrm{L}^a\mathrm{M}^b\mathrm{T}^c,$ и выбирая единицы измерения для длины ($\mathrm{L}$), массы ($\mathrm{M}$) и времени ($\mathrm{T}$), мы получаем систематически построенные единицы для всех остальных величин.

Например, выбирая единицы метр, килограмм, секунда, мы получаем систему единиц МКС, лежащую в основе системы СИ.
Выбирая единицы сантиметр, грамм, секунда, мы получаем систему единиц СГС.
В системе СИ - семь базовых размерностей и соответствующих единиц: $\mathrm{L}^a\mathrm{M}^b\mathrm{T}^c\mathrm{I}^d\mathrm{\Theta}^e\mathrm{N}^f\mathrm{J}^g$: длина, масса, время, сила тока, температура, количество вещества, сила света, с единицами метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль, кандела.

Любая величина (в данной системе единиц) получается подстановкой каких-то чисел в показатели степеней $a,b,c.$ Например, силе (по формуле $F=ma=m\,(d^2s/dt^2)$) соответствует выбор $\mathrm{L}^1\mathrm{M}^1\mathrm{T}^{-2}=\mathrm{L}\mathrm{M}\mathrm{T}^{-2},$ который и называется размерностью силы. Здесь, как видно, $a=b=1,\quad c=-2.$

Нет никакой проблемы в том, чтобы подставить значения $a=b=c=0.$ И довольно часто такое приходится делать, перемножая величины, например, с противоположными значениями этих показателей.

Пример:

Частота колебаний $\nu$ имеет размерность $\mathrm{L}^0\mathrm{M}^0\mathrm{T}^{-1}=\mathrm{T}^{-1},$ и соответствующую единицу герц.
Число колебаний за время $t$ определяется по формуле $n=\nu t.$
У времени размерность $\mathrm{L}^0\mathrm{M}^0\mathrm{T}^1=\mathrm{T}.$
Значит, какая размерность получается у числа колебаний $n$? Однозначно: $\mathrm{L}^0\mathrm{M}^0\mathrm{T}^0=1.$
Формально говоря, $n$ называется безразмерным числом.
Чтобы пояснить, что это значит, словами это произносят так: "$n$ штук колебаний, $n$ единиц колебаний, $n$ колебаний", и другие варианты.

Надо быть осторожным со смыслом безразмерных величин, поскольку часто они не взаимозаменяемы, имеют разную природу.

- Часто в физике возникают величины "штук", обозначающие количество чего-то. Но количества разных вещей (колебаний и частиц) не переводятся друг в друга.
- Безразмерной является величина относительной погрешности любой другой величины.
- Безразмерным является отношение любых двух значений одной величины, например, отношение массы Земли и массы Солнца. Отношение иногда выражают в процентах.
- Широко распространены углы. Угол может быть выражен в радианах и в градусах, иногда в долях полной окружности. Эти случаи надо правильно переводить друг в друга.
- Также встречается телесный угол, который измеряется в стерадианах или в квадратных градусах, иногда в долях полной сферы.
- Встречаются разные логарифмические величины, являющиеся логарифмами какого-то отношения, они также безразмерны, но для них используются разные единицы, позволяющие не путать эти величины: звёздная величина, децибел, октава, декада, бит, байт.

Из безразмерных величин строятся размерные, соблюдая те же правила. Например, из угла, выраженного в градусах, можно построить угловую скорость, выраженную в градусах в секунду. (Не рекомендуется в СИ, в ней рекомендованы радианы в секунду, но это не всегда удобно на практике.)

[wrest]

Vladimirkey в сообщении #1401397 писал(а):

взять банально подсчет чего-либо в повседневной жизни (компьютеров, установок (напр. $4$ установки, прибора), не важно что, при подсчете количества что является размерностью для единицы, которую мы подсчитываем?

"Единица", "Штука".

[Vladimirkey]

Munin в сообщении #1401406 писал(а):

Размерность - это выражение из базовых размерностей в каких-то степенях. Например, в механике все величины - имеют размерность вида $\mathrm{L}^a\mathrm{M}^b\mathrm{T}^c,$ и выбирая единицы измерения для длины ($\mathrm{L}$), массы ($\mathrm{M}$) и времени ($\mathrm{T}$), мы получаем систематически построенные единицы для всех остальных величин.

Munin, спасибо за подробный ответ.

Выходит, что при фразе "Проверить размерности" - мы проверяем "Единицы измерения", это просто некорректная фраза (которую кстати говоря везде встречаю), нужно говорить "Проверяем единицы измерения" формулы, чтобы указать, что формула корректна?

Munin в сообщении #1401406 писал(а):

но для них используются разные единицы, позволяющие не путать эти величины: звёздная величина, децибел, октава, декада, бит, байт

Имеется ввиду, что для таких безразмерных величин просто обозначили разные единицы, чтобы различать, но по сути они безразмерные и не должны иметь единицу измерения?

Безразмерные величины разной природы, как я понял нельзя складывать, хоть это и простые числа, не имеющие размерности.

"Люди, стулья, приборы, установки" - можно считать как единицы измерения, а можно считать как безразмерные величины, но добавляя "люди" просто указать разную природу таких величин.

[DimaM]

Vladimirkey в сообщении #1401597 писал(а):

Выходит, что при фразе "Проверить размерности" - мы проверяем "Единицы измерения", это просто некорректная фраза (которую кстати говоря везде встречаю), нужно говорить "Проверяем единицы измерения" формулы, чтобы указать, что формула корректна?

Разумеется, нет.
Выражение скорость = масса / время неверно по размерности и если массу измеряем в килограммах, и если в нанотоннах.

[Munin]

Vladimirkey в сообщении #1401597 писал(а):

Выходит, что при фразе "Проверить размерности" - мы проверяем "Единицы измерения", это просто некорректная фраза (которую кстати говоря везде встречаю), нужно говорить "Проверяем единицы измерения" формулы, чтобы указать, что формула корректна?

Проверка размерности - это часть проверки на единицы измерения.

Если вы делите тонны на литры для вычисления скорости - у вас ошибка в размерности.

Если вы делите дюймы на дни для вычисления скорости, и думаете, что скорость у вас получилась в километрах в секунду - у вас нет ошибки в размерности, но есть ошибка в единицах измерения.

В школе часто говорят "проверьте размерность", подразумевая и то и другое. Это нормально для жаргона. (Чаще всего именно размерности не сходятся, а единицы измерения всех приучают использовать по СИ. Если это строго соблюдать (переводить минуты, часы и дни в секунды, а литры - в кубометры), то хотя бы с единицами проблем не будет.)

Vladimirkey в сообщении #1401597 писал(а):

Имеется ввиду, что для таких безразмерных величин просто обозначили разные единицы, чтобы различать, но по сути они безразмерные и не должны иметь единицу измерения?

Безразмерные - это значит, что они не имеют размерности (имеют размерность 1, единица). Но это не значит, что они не должны иметь единицу измерения.

Просто любая такая единица измерения является, в строгом смысле слова, числом. Например, можно положить по определению $\%=0{,}01,\quad{}^\circ=\tfrac{\pi}{180}.$

Vladimirkey в сообщении #1401597 писал(а):

"Люди, стулья, приборы, установки" - можно считать как единицы измерения, а можно считать как безразмерные величины

Не надо путать три понятия: величину, размерность, единицу измерения.

Величина - это число, умножить на единицу измерения. $P=10\text{ Па}.$
Величина обладает размерностью. Число не обладает размерностью. Значит, и единица измерения обладает размерностью.
Соответствие между размерностями и единицами измерения - один-ко-многим. Для каждой размерности могут существовать несколько разных единиц измерения.

Например: для размерности $\mathrm{T}^{-1}$ существуют единицы герц (для колебаний, невращательных процессов), оборот в секунду, оборот в минуту, радиан в секунду, и так далее.

[wrest]

Vladimirkey в сообщении #1401597 писал(а):

Безразмерные величины разной природы, как я понял нельзя складывать, хоть это и простые числа, не имеющие размерности.

"Люди, стулья, приборы, установки" -

Тут зависит от контекста. Если вам надо различать приборы и установки, то это будут разные размерности - единицы приборов и единицы установок. А если не надо, то можете присвоить тому и другому одну и ту же единицу - (например единица предметов).

[Vladimirkey]

Munin
Спасибо за систематическое изложение, а где порекомендуете еще об этом почитать (для полноты картины), в какой книге?
wrest
Спасибо за ответы.

В самом деле я запутался именно тогда, когда понял, что при подсчете количества колебаний маятника, то маятники с разной амплитудой считаются одним и тем же количеством: например, есть маятник, который колеблется с большой амплитудой и делает $10$ колебаний, а есть маятник, который колеблется с очень маленькой амплитудой и делает $10$ колебаний, так вот и там, и там по $10$ колебаний и можно сказать, что колебания равны (хоть они и с разной амплитудой колеблются), то есть количественно они не различимы, поэтому показалось странным, почему не вводиться например понятие "количество колебаний маленькой амплитуды" и отдельно "количество колебаний с большой амплитудой" и подсчитываются отдельно, при этом, например: $1$ большое колебание равно $2$ маленьким колебаниям, но такого нет, как бы колебания количественно не различимы по амплитуде и есть только понятие просто "количество колебаний" без указания (какой-то более высокий уровень абстракции). Поэтому показалось немного странным, что в таком случае за единицу колебаний неоднозначно взят маятник (с какой амплитудой и тому подобное), чтобы быть точным в подсчете количества колебаний.
Иначе получаем, что частота колебаний с разными амплитудами одинаковая, если подсчитывать одинаково колебания (не вводить количество больших и маленьких колебаний), а если вводить, то частота уже будет разная, например с маленькой амплитудой будет колебаться с частотой $50$ маленьких колебаний за секунду, а с большой $100$ маленьких колебаний за секунду.

Такие же рассуждения для частоты шагов людей, например есть частота шагов двух людей $50$ шагов за секунду, но частота то одинаковая (если принять количественно за подсчет шагов абстрактное какое-то, что шаг - когда наступил на землю), то частота неразличима двух людей, а если принять, что есть отдельно взятое количество шагов ребенка, а количество взрослого человека выразить через шаги ребенка, то получим как раз разную частоту шагов.

Как бы либо количество шагов или колебаний можно подсчитать по-разному, либо использовать высокий уровень абстракций и тогда не совсем однозначно понятно, что взято за единицу шага и колебания, либо брать низкий уровень абстракции и вводить (маленькие, большие шаги и колебания), но вот правомерно это или нет, не совсем понятно, можно ли таким образом вводить свои количественные единица шага и колебания, а потом переводить их друг в друга.

[wrest]

Vladimirkey в сообщении #1401637 писал(а):

Иначе получаем, что частота колебаний с разными амплитудами одинаковая,

А что тут "такого"? Маятники так и должны быть устроены: частота колебаний не зависит от амплитуды (а зависит только от приведенной длины маятника).

Vladimirkey в сообщении #1401637 писал(а):

не совсем понятно, можно ли таким образом вводить свои количественные единица шага и колебания, а потом переводить их друг в друга.

Ну для шага можно мерить
- частоту шагов (единицы в секунду: герцы)
- длину одного шага (метров)
- скорость: произведение частоты шагов на длину одного шага (метры в секунду)
Тогда можно сравнивать маленькие но частые шаги и большие но редкие, по скорости...

-- 26.06.2019, 16:52 --

(Vladimirkey)

Vladimirkey в сообщении #1401637 писал(а):

а где порекомендуете еще об этом почитать (для полноты картины), в какой книге?

С каждой вашей темой я не перестаю удивляться как вообще можно выдумать те вопросы, которые вы задаёте. Ну знаете, как будто вы с другой планеты и "человеческая логика", а также "здравый смысл" у вас отсутствуют, так что вам, видимо нелегко жить в этом нашем земном бардаке, без способности к синтезу (сложению частей в единое целое). Но с другой стороны, просматривается просто-таки нечеловеческая тяга к систематизации (анализу, т.е. разложению целого на части), может это и хорошо...

-- 26.06.2019, 16:59 --

Vladimirkey в сообщении #1401637 писал(а):

то частота неразличима двух людей, а если принять, что есть отдельно взятое количество шагов ребенка, а количество взрослого человека выразить через шаги ребенка, то получим как раз разную частоту шагов.

А что вы можете сказать о мультфильме "38 попугаев"? Вы посмотрите его, это хороший мультфильм как раз по вашей теме, расскажите какие выводы вы сделали\не сделали? Вы поняли в чем были затруднения удава? Согласны ли вы с высказыванием удава "А в попугаях я гораздо длиннее"? (вот этот момент: https://www.youtube.com/watch?v=rwureDB_mew )

[Munin]

Vladimirkey в сообщении #1401637 писал(а):

а где порекомендуете еще об этом почитать (для полноты картины), в какой книге?

Книг под рукой у меня нет, так что примерно: Чёртов; Сена. Ещё справочник Физические величины.

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1401644 писал(а):

С каждой вашей темой я не перестаю удивляться как вообще можно выдумать те вопросы, которые вы задаёте. Ну знаете, как будто вы с другой планеты и "человеческая логика", а также "здравый смысл" у вас отсутствуют

Поразительно это именно от вас слышать...

[Vladimirkey]

wrest в сообщении #1401644 писал(а):

А что тут "такого"? Маятники так и должны быть устроены: частота колебаний не зависит от амплитуды (а зависит только от приведенной длины маятника).

Нет, это понятно, Вы не совсем правильно поняли меня, подсчет количества колебаний разных маятников одинаков, не зависимо от амплитуды, то есть я веду речь примерно вот о чем: когда я задаю единицу измерения $1$ кг, то я четко оговариваю, что такое $1$ кг и сравниваю с ним, но вот подсчет количества колебаний, к примеру, не имеет такой четкой оговорки кроме того, что за $1$ колебание мы принимаем, что я говорю "раз" когда тело, выведенное из положения равновесия, вернется в ту же точку, откуда мы его вывели и это не зависимо от амплитуды колебаний, еще чего-либо, "раз" говорится в любом случае и таким образом "раз" (одно колебание) для одного маятника мы посчитали лишь исходя из определения этого самого $раз$ и ничего более, эти "разы" неотличимы у двух маятников, потому что они были определены по определению, которое не дает их различить, а я говорю, почему не ввести бы "раз" для маленького маятника и тогда "раз" для большого маятника будет равен $2$ "разам" маленького и количество колебаний двух маятников в таком случае различимы, но тогда нужно дать более точное определение подсчета количества колебаний (где именно говорить "раз", что мы понимаем под "раз"), а общепринятое определение количества колебаний имеет более высокую степень абстракции (оно просто говорит о том, что "раз" нужно говорить тогда, когда тело вернулось в исходное положение) и все, тем самым "разы" не различимы, как и шаги, но если ввести как раз для шагов тоже самое, то можно сравнивать и по количеству сделанных шагов двух людей (можно понять, что шагов ребенка меньше, чем у взрослого), как и двух маятников, иначе информация о колебания и шагах неразличима для двух маятниках и шагов (как-то так, может быть я не совсем понятно выражаюсь, но мне просто хотелось узнать, почему так не делают, либо, можно ли так делать).

wrest в сообщении #1401644 писал(а):

А что вы можете сказать о мультфильме "38 попугаев"? Вы посмотрите его, это хороший мультфильм как раз по вашей теме, расскажите какие выводы вы сделали\не сделали? Вы поняли в чем были затруднения удава? Согласны ли вы с высказыванием удава "А в попугаях я гораздо длиннее"? (вот этот момент: https://www.youtube.com/watch?v=rwureDB_mew
)

Ну конечно, это как сказать, что я в дюймах ростом меньше, чем в миллиметрах, число здесь не главное, главное, что мы взяли за единицу измерения.
P.S. Если я делал работу $1$ час, то это не значит, что я сделал ее быстрее, чем делал бы $3600$ секунд, так как $1<3600$.

Munin в сообщении #1401662 писал(а):

Книг под рукой у меня нет, так что примерно: Чёртов; Сена. Ещё справочник Физические величины.

Спасибо!

[photon]

Vladimirkey в сообщении #1401672 писал(а):

а я говорю, почему не ввести бы "раз" для маленького маятника и тогда "раз" для большого маятника будет равен $2$ "разам"

А кому это нужно? Если нас интересует количество колебаний, то мы считаем именно количество колебаний, которое для заданного маятника нам однозначно говорит о прошедшем времени. Маятник тем и хорош, что при небольших углах изменения амплитуды не будут сказываться на частоте колебаний - мы можем отклонить от положения равновесия чуть больше или чуть меньше, но количество колебаний после того как отпустим маятник будет говорить нам о прошедшем времени одинаково.

Если вам надо будет измерить путь, пройденный концом маятника, то вы будете его измерять в единицах пути, а не в разах и тогда действительно одному и тому же количеству "разов" у разных маятников или даже у одного и того же, но колеблющегося с разной амплитудой, будут соответствовать разные пути и можно будет говорить, что в смысле пройденного пути вот эти разы, например, в два раза больше вот тех. Но это будет обязательно с оговоркой, что измеряем мы не разы сами по себе, а путь.

Аналогичная ситуация и с шагами. Если вы говорите о количестве шагов, то нельзя говорить, что вот эти взрослые шаги в два раза отличаются от тех детских шагов, но если вы будете говорить о расстояниях, то будет уместным сказать, что вот этот шаг в два раза больше того, но больше по длине же, а не по количеству.

[Munin]

С маятниками и им подобными системами ситуация такая: пишут аналитическое решение уравнения, например, $x(t)=x_0\cos(2\pi\nu t+\varphi_0),$ или $x(t)=x_0\,e^{-\lambda t}\cos(2\pi\nu t+\varphi_0),$ и в нём обнаруживается коэффициент размерности обратного времени - $\nu.$ Вот его и называют частотой.

С менее регулярными процессами, например, с каким-либо импульсным сигналом, выбирают какой-нибудь критерий, например, уровень 50% на фронте импульса, и между этими моментами времени и измеряют промежутки.

[wrest]

Vladimirkey в сообщении #1401672 писал(а):

а я говорю, почему не ввести бы "раз" для маленького маятника и тогда "раз" для большого маятника будет равен $2$ "разам" маленького

А почему не наоборот: одно колебание маленького равно двум большого?
Вот для различения используют другое свойство: период времени. Большой мвятник колеблется меньше.
Вот с килограммом может быть какая история: килограмм железа меньше по объему чем килограмм дерева (т.к. удельная плотность железа больше), но и тот и другой килограммы - равны.

-- 26.06.2019, 21:26 --

Vladimirkey в сообщении #1401672 писал(а):

можно сравнивать и по количеству сделанных шагов двух людей (можно понять, что шагов ребенка меньше, чем у взрослого), как и двух маятников, иначе информация о колебания и шагах неразличима для двух маятниках и шагов

Совершенно верно, неразличима.
Например, 1 килограмм может быть чего угодно, "масса предмета 1 килограмм" ничего не говорит вам о материале предмета, размерах, цвете и так далее, а "масса маятника 1 килограмм" ничего не говорит вам о частоте его колебаний.