Сходимость по распределению

[stiv1995]

Добрый день, у меня есть несколько вопросов по сходимости по распределению.

Пусть $\{X_n\}$ и $\{Y_n\}$ -- две независимые последовательности случайных величин, такие что $X_n \to^{d} X$ и $Y_n \to^{d} Y$.

1. Верно ли, что $X_n + Y_n \to X + Y$?

2. Верно ли, $X$ и $Y$ -- независимые случайные величины?

По второму вопросу, я полагаю, что да. Даже если они сходятся к одной и той же величине, то мы можем считать, что $X$ и $Y$ -- независимые реализации одной величины. По первому вопросу, я могу показать, что если последовательности зависимы, то это не верно, а для независимых, кажется, должно выполняться.

Спасибо.

[mihaild]

stiv1995 в сообщении #1400922 писал(а):

то мы можем считать, что $X$ и $Y$ -- независимые реализации одной величины

Почему это?
Правильный ответ такой: если $X$ и $Y$ не вырождены, то просто из сходимости $X_n$ и $Y_n$ к ним вывести что-то про совместное распределение $X, Y$ нельзя. Потому что если уж $X_n$ сходится по распределению к какой-то с.в., то вполне может сходиться к целой куче самых разных.
Соответственно первый вопрос тоже нужно уточнять - как выбираются эти $X$ и $Y$?

Пример: вероятностное пространство "два раза бросили монетку". $X = X_n = \text{число орлов при первом броске}$ (ноль или один), $Y = Y_n = \text{число орлов при первом броске}$.
Тогда одновременно имеем $X_n \to^d X$ и $X_n \to^d Y$, но $X$ и $Y$ - это разные величины.

[stiv1995]

Ваш пример понятен. По второму вопросу я имел ввиду, что всегда можно выбрать $X$ и $Y$ так, что они независимы. Ваш пример вроде бы этому не противоречит.

Уточнение для первого вопроса. В моей задаче я имею $X_n \to^d \mathcal{N}(0, 1)$ и $X_n \to^d \mathcal{N}(0, 1)$. Верно ли, что $X_n + Y_n \to^{d} \mathcal{N}(0, 2)$? Для зависимых, очевидно, не верно, а как показать, что верно для независимых я пока не вижу.

[mihaild]

stiv1995 в сообщении #1401058 писал(а):

По второму вопросу я имел ввиду, что всегда можно выбрать $X$ и $Y$ так, что они независимы

Можно конечно. Для любых двух распределений можно выбрать пару независимых случайных величин с этими распределениями.

stiv1995 в сообщении #1401058 писал(а):

а как показать, что верно для независимых я пока не вижу

Попробуйте представить $X_n = A_n + B_n$, где $A_n$ распределено нормально, а $B_n$ по распределению сходится к нулю, причем $A_n$ и $B_n$ независимы от $Y_n$.

[stiv1995]

Ахх, точно, остается только теорему Слуцкого применить. Спасибо!