Как работают доказательства в математике и импликация?

[nagotfiger]

В общем, учился два года в универе, там был матан. В качестве учебника выдали 'основы математического анализа' Позняка. В нем нигде не говорилось о символах вроде $\in$, $\notin$ и прочих. Преподаватели тоже о них не говорили, так что они все были 'понятны' интуитивно. Например, если $x \in X$, значит $x$ удовлетворяет всем условиям, по которым построен $X$ и т.п. В том числе была понятна импликация $\Rightarrow$ - это знак следствия, которым мы показываем, что из одного утверждения следует другое. А вот сейчас я решил выучить математику самостоятельно и взял учебник Зорича, так как говорили, что он лучше Позняка. И на первых же страницах я узнал, что импликация это оказывается не знак следствия, как я думал, а логический оператор, который берет два операнда и возвращает 1 или 0 в соответствии со своей таблицой истинности. И теперь я не понимаю, как можно доказать что-нибудь. Для примера, на тех же первых страницах он доказывает закон Де Моргана для множеств, выглядит это в книге так:
$(x \in C_M(A \cup B))\Rightarrow$ $(x \notin (A \cup B))\Rightarrow$ $((x \notin A) \wedge (x \notin B))\Rightarrow$ $(x \in C_MA) \wedge (x \in C_MB)\Rightarrow$ $(x \in (C_MA \cap C_MB))$
И потом то же самое в обратную сторону. Интуитивно я понимаю, что это так. Из того, что элемент принадлежит дополнению следует, что элемент не принадлежит множеству, к которому берется дополнение, и так далее. Но вот формально я теперь знаю, что $A \Rightarrow B \Rightarrow C$ это сокращение для $(A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow C)$ (так написано в сноске), а также я знаю, что $\Rightarrow$ это логический оператор, а не значок следствия. Значит вся эта первая половина доказательства это просто огромное логическое выражение вида $(A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow C) \wedge \cdots$. В чем тогда состоит доказательство? Надо найти значение этого огромного выражения и показать, что оно равно единице т.е. истинно? Если так, то как это сделать? Возьмем первое выражение этой цепочки 'и':
$(x \in C_M(A \cup B)) \Rightarrow (x \notin (A \cup B))$
Очевидно, что эта импликация истинна просто из определения дополнения. Если бы $\Rightarrow$ был бы просто знаком следствия, то все было бы хорошо. Но это оператор. Значит мне нужно показать, что эта импликация истина. Как это сделать? Как это формально записать?
До этого Зорич в виде упражнение дает доказать некоторые соотношения, одно из них выглядит так:
$\neg (A \wedge B) \Leftrightarrow \neg A \vee \neg B$
Я просто проверил все 4 комбинации истинности\ложности $A$ и $B$ и получил, что слева и справа от $\Leftrightarrow$ всегда будут одинаковые значения, значит в соответствии с таблицой истинности эквивалентности я получаю, что эквивалентность тут истинна. Это правильное решение? Как сделать то же самое для первого выражения из доказательства правила Моргана я не представляю.
Может есть какая отдельная книжка, которую мне нужно прочитать, которая объяснит мне работу доказательств и логики вообще?

[Connector]

nagotfiger в сообщении #1400675 писал(а):

Очевидно, что эта импликация истинна просто из определения дополнения. Если бы $\Rightarrow$ был бы просто знаком следствия, то все было бы хорошо. Но это оператор. Значит мне нужно показать, что эта импликация истина. Как это сделать? Как это формально записать?

Так вот и ответ. Если уж так разбирать, то определение это конъюнкция двух импликаций; из истинности конъюнкции следует истинность обоих членов.

[george66]

Почитайте детскую книжку (Никольская "Математическая логика").
http://library1.org/_ads/92C22AA6A0C428 ... 83245860C8
Я по ней учился, когда был маленький, хорошие воспоминания. Если будет всё понятно, посоветую, что читать дальше.

[nagotfiger]

Connector в сообщении #1400689 писал(а):

определение это конъюнкция

Значит определение это тоже логическое выражение, которое может быть истинным или ложным. Что тогда значит ложное определение? И где это написано? В Зориче определение это просто специальный символ, который связывает новую символическую запись с уже известными, да и в Позняке тоже.

george66 в сообщении #1400710 писал(а):

Никольская "Математическая логика"

128 страниц? Я надеялся на ответ покороче. То есть эта книга не была в планах универа, всем и так все было понятно, так что я думал, что проблема маленькая и легко решается. И она выглядит как что-то специализированное для тех, кто хочет заняться именно логикой, а у меня по логике один вопрос, а заняться я хочу матаном. Но если никто не ответит, то буду читать.

[arseniiv]

nagotfiger в сообщении #1400713 писал(а):

Значит определение это тоже логическое выражение, которое может быть истинным или ложным.

Нененене. Почитайте сначала книжку. Потом, когда дочитаете до теорий (аксиоматических или нет, не важно), определение — это построение новой теории по некоторой имеющейся, если в ней как раз уже выводилось существование и единственность того, что мы будем определять. Вот тогда у нас есть полное право эту единственную штуку обозначить новым именем, и сопоставить язык с этим новым именем и старый язык без него определённым образом, а в новой теории не забыть сделать выводимыми все подходящие утверждения, в которые входит новое имя — если мы имеем дело с аксиоматическими теориями, это значит, что к аксиомам новой прибавляется специальная определяющая новое имя аксиома. (Как конкретно это строится, сейчас наверно не важно; математики без интереса к матлогике как области прекрасно сходятся в том, что можно делать с определениями, а что нет.)

nagotfiger в сообщении #1400713 писал(а):

В Зориче определение это просто специальный символ, который связывает новую символическую запись с уже известными, да и в Позняке тоже.

Да, более простой взгляд на определения — это сокращение. Но не всегда можно найти то, сокращением чего могло бы получаться новое имя, хотя обычные математики работают как правило с довольно мощным языком, в котором можно, и не заморачиваются формализацией настолько, чтобы можно было наткнуться на место, когда «можно» кажущееся.

nagotfiger в сообщении #1400713 писал(а):

Но если никто не ответит, то буду читать.

Ну вообще доказательство — это какая-то штука, построенная по каким-то правилам. Естественные доказательства очень разнообразны, и потому при изучении логики их обычно упрощают до удобной формы и получается например последовательность высказываний, в которой каждое высказывание получено из некоторых предыдущих по одному из заранее известных правил или является аксиомой логики или специфической рассматриваемой теории. (Это самая простая форма, гильбертовская, и она довольно далека от практики в том же смысле как ассемблер или машина Тьюринга далеки от какого-нибудь Python.)

-- Сб июн 22, 2019 01:37:17 --

Но важно не путать доказательства и высказывания. У доказательства нет значения истинности; оно не является гигантской формулой, скреплённой импликациями, равносильностями или ещё чем. Суть доказательства в том, что если мы заранее знаем, что какие-то утверждения тождественно истинны (тождественно — это грубо говоря при любых условиях), и что мы знаем случаи, когда построенное по какому-то правилу утверждение будет обязательно истинным, когда истинны (обычно как-то связанные со способом построения) ещё несколько утверждений, то чтобы показать истинность какого-то хитрого утверждения, мы можем апеллировать к первым и вторым, связывая их каким-то образом (в то, что будет называться доказательством). Правда, такое не описывает более высокоуровневые штуки типа «предположим $X$, получилось $Y$, значит в отсутствии предположений верно $X\Rightarrow Y$» или доказательства от противного, но это всё в принципе ушло недалеко, и тут опять можно без повода залезть в формализацию.

[nagotfiger]

Ну что ж, значит буду читать эту логику Никольской. Уже открыл, там есть упражнения. Есть ответы к ним?