Ноль или не ноль

[Leonid17]

Всех приветствую. Сегодня у меня возник довольно заурядный вопрос, наверное, не слишком сложный, но гугл выдаёт совсем не то, а где искать это в книгах - не совсем понимаю. Вопрос таков: что будет, если умножить бесконечность на ноль. Но не торопитесь, пожалуйста, отвечать неопределённость. Курс матанализа у меня был. Я же говорю не о произведении бесконечно малой на бесконечно большую. Я говорю о произведении "чистого" нуля на бесконечно большую, либо на саму бесконечность. Видимо, в этом вопросе мне не хватает понимания некоторых математических формальностей.

P.S. Вообще вопрос возник, когда я задумался о решении однородного волнового уравнения в физических задачах. В решении имеем две экспоненты. Ту, что на бесконечности стремится к бесконечности мы "выкидываем". Математически это реализуется приравниванием коэффициента к нулю. Вот тут я и задумался о том, что на бесконечности наше "выкинутое" решение и будет как раз произведением нуля на бесконечность. Если сможете прокомментировать этот частный случай - буду благодарен.

[Dan B-Yallay]

Leonid17 в сообщении #1400628 писал(а):

Вот тут я и задумался о том, что на бесконечности

Наводящий вопрос: "на бесконечности" - это как далеко от Жмеринки?

[worm2]

В физических задачах (и даже в их абстрактных математических моделях) "чистые" нули, конечно же, бывают, но вот "настоящих" бесконечностей не бывает. Бывают бесконечно большие, т.е. функции, неограниченно возрастающие при стремлении аргумента куда-нибудь. Рассматривают даже "функции" (не настоящие функции!), в каком-то смысле "равные бесконечности" в какой-то точке, а вне её нулевые. Но даже для них нет смысла ставить вопрос о "правильном" значении такой функции в этой точке, "оторванном" от своей функции и живущем самостоятельно. К примеру, вопрос о "правильном" значении функции $y=1/x$ в точке $x=0$ ("правильном" в том смысле, что если его, забыв о способе его получения, умножить на "настоящий" 0, получилось бы 1, потому что всегда ведь должно быть $x/x=1$?) не имеет смысла.

В приведённом вами конкретном примере происходит умножение "чистого" нуля на функцию, бесконечно большую в бесконечности, т.е. неограниченно возрастающую при неограниченном возрастании аргумента. Результат такого умножения — "чистая" нулевая функция (и стремится она тоже к нулю при любом поведении аргумента). Любой другой результат физически не имеет смысла, а значит, и в адекватной мат. модели тоже отметается.

[wrest]

Голосую за победу "чистого нуля".
В виду сомнений в чистокровном происхождении актуальной бесконечности, вместо них всё какие-то подделки норовят подсунуть. А нуль - он настоящий, строгий!

[Gagarin1968]

Leonid17 в сообщении #1400628 писал(а):

что будет, если умножить бесконечность на ноль

Среди чисел, на которые распространяются арифметические действия, бесконечности нет. Поэтому сам вопрос, как мне кажется, довольно бессмысленный. С таким же успехом можно спросить, что будет, если ноль умножить на плоскость?

[iifat]

Нету же их, бесконечностев. Нету. Злые люди выдумали. Есть $\lim\limits_{x\to\infty}$, есть $\frac\infty\infty$ и т.п. — но все эти записи имеют конкретные определения, ничего бесконечного в себе не содержащие. Есть нестандартный анализ, правда, с бесконечно большиими и бесконечно малыми, но и там, как понимаю, умножив что угодно на «чистый» ноль, его же и получим.

[Munin]

Leonid17 в сообщении #1400628 писал(а):

P.S. Вообще вопрос возник, когда я задумался о решении однородного волнового уравнения в физических задачах. В решении имеем две экспоненты. Ту, что на бесконечности стремится к бесконечности мы "выкидываем". Математически это реализуется приравниванием коэффициента к нулю. Вот тут я и задумался о том, что на бесконечности наше "выкинутое" решение и будет как раз произведением нуля на бесконечность. Если сможете прокомментировать этот частный случай - буду благодарен.

Тут суть как раз в том, что нуль "чистый", а бесконечность "не чистая", а только "предельная".

То есть, допустим, у вас есть функция, обращающаяся на бесконечности в бесконечность - $f(x).$ То есть, $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty.$

Вы её хотите умножить на ноль, вот таким способом: $0\cdot\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=???$

Но на самом деле, такого произведения у вас нет (такой роскоши, чтобы писать такое произведение, у вас нет). А именно, выполняется равенство

$$\lim f(x)\,g(x)=\lim f(x)\cdot\lim g(x)$$

только в том случае, когда все перечисленные пределы существуют, и между ними можно записать соответствующее равенство в некоторой "арифметике пределов". А вот с этим-то и проблемы, потому что вычислить $0\cdot\infty$ нельзя - именно это и называется словом "неопределённость".

Поэтому ваше восприятие ситуации как $0\cdot\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$ - это ошибка, неправильная интерпретация. А на самом деле, там рассматривают

$$\lim\limits_{x\to\infty}0\cdot f(x)$$

- как видите, ноль здесь не выносится за знак предела! И дальше, если бы под пределом $f(x)$ была умножена на какую-то бесконечно малую функцию (то есть, в пределе стремящуюся в ноль), то мы могли бы рассуждать о разных результатах умножения, и соответственно, о разных пределах. По сути, для любого желаемого предела можно подобрать подходящую функцию - множитель. Но в том случае, когда множитель внутри предела строго равен нулю, как константная функция, то тогда получается однозначно и безо всяких вариантов

$$\lim\limits_{x\to\infty}0\cdot f(x)=\lim\limits_{x\to\infty}0=0.$$

И точка.

[arseniiv]

Не, ну чего, может человек несобственный элемент $\mathbb R\mathrm P^1$ берёт, это вполне алгебраически определённая вещь. Но мы его всё равно разочаруем: проективизация ничего такого не позволяет. Там где были лишь линейные преобразования, появляются от неё дробно-линейные, но с тем произведением никак не помогают. От чисто топологических штучек типа $\overline{\mathbb R}$ (хотя там и порядок хорошо доопределяется) ждать пользы ещё меньше смысла. Какие ещё у нас «бесконечности», известные широкой общественности? Вроде никаких.

[mihaild]

arseniiv в сообщении #1400714 писал(а):

Какие ещё у нас «бесконечности», известные широкой общественности? Вроде никаких.

Среди ординалов еще бесконечностей хватает. И даже умножение есть. Правда всё равно $0$ получается.

iifat в сообщении #1400685 писал(а):

Есть нестандартный анализ, правда, с бесконечно большиими и бесконечно малыми, но и там, как понимаю, умножив что угодно на «чистый» ноль, его же и получим.

Там есть "бесконечно большие", но бесконечности всё равно нет. А "бесконечно большие" - ну просто добавили в поле элементы, большие любого натурального, имеем право. На натуральных числах свет клином не сошелся.

[arseniiv]

mihaild в сообщении #1400728 писал(а):

Среди ординалов еще бесконечностей хватает.

Будем лучше считать, что ТС не думал о них, а то хлопот будет больше, чем можно разрешить.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1400714 писал(а):

Не, ну чего, может человек несобственный элемент $\mathbb R\mathrm P^1$ берёт, это вполне алгебраически определённая вещь.

Геометрически. А то в алгебру она не входит.

[arseniiv]

Хм, ну не знаю. Может быть. Или в этой серой зоне чёрт ногу сломит. А то линейная алгебра же тоже не очень алгебра.

[podih]

Можно и арифметикой этот вопрос разрешить.
Цифр всего 10. Произведение любого из них на 0 даёт ноль. То же происходит и с сопутствующей $10^n$.
Индуктивно обнаруживаем, что не можем создать число в другой форме. А такие числа испаряются во взаимодействии с Чистым Нолём.

[Leonid17]

Dan B-Yallay в сообщении #1400641 писал(а):

Наводящий вопрос: "на бесконечности" - это как далеко от Жмеринки?

Извините, но я не совсем понимаю вашего вопроса.

arseniiv в сообщении #1400730 писал(а):

Будем лучше считать, что ТС не думал о них, а то хлопот будет больше, чем можно разрешить.

Нет, к сожалению (или счастью), я не очень понимаю, о чем вы говорите с mihalid. Мой вопрос более тривиален.

Всех благодарю за помощь и отзывчивость. Довольно исчерпывающе! Очень благодарен каждому, кто отписал в этой теме)

[Munin]

Leonid17 в сообщении #1400766 писал(а):

Нет, к сожалению (или счастью), я не очень понимаю, о чем вы говорите с mihalid.

По крайней мере, можете быть спокойны, это очень далеко от физических задач и волновых уравнений.