Определение окаймляющего минора по Кострикину

[andreyka]

В учебнике Кострикин. Введение в алгебру. Часть 1 (глава 3, параграф 3) в определении окаймляющего минора говорится о крайней строке\столбце? Там неправильное определение, неверная теорема или достаточно рассматривать миноры, дополняемые с краю?

[vpb]

Не знаю точно, но, по моему, это ляп. Новое издание "Введения в алгебру" не во всех отношениях лучше первого (а в первом этого ляпа нет). В буквальном смысле это даже непонятно как понимать, теорема как-то странно выглядит.

Попробую сформулировать корректный вариант. Будем называть минор $\widetilde M$ объемлющим для $M$, если $M$ получается из $\widetilde M$ вычеркиванием одной строки и столбца, но не обязательно первого или последнего. (А $\widetilde M$ из $M$ --- соответственно добавлением).

Теорема. Пусть $M$ --- ненулевой минор для $A$, порядка $r$. Тогда либо существует ненулевой объемлющий минор для $M$, либо $\operatorname{rank}\, A=r$ .

Попробуйте доказать этот вариант теоремы самостоятельно (смотря в книжку). Понятно, как она может быть использована для вычисления ранга матрицы (хотя в практике так не делают, во всяком случаее за мою жизнь (а я много-много всяких рангов сосчитал, по необходимости работы (не преподавания)), я так никогда не делал. Практически, всегда используется приведение к ступенчатому виду (это если теоретические вопросы, на бумажке. Методы численной линейной алгебры для компьютера --- вообще особь статья.)