Существование НОД

[qvverty]

Пусть $R$ -- коммутативное ассоциативное кольцо с единицей. Почему $\gcd$ может не существовать? Выберем два числа $a, b \in R$. Очевидно, они оба делятся на $1_R$. Если кроме единицы ничего нет, то единица есть НОД. Допустим, есть ещё один -- $d'$. Тогда, если других кроме этих двух нет, $d'$ -- НОД ($d'$ делится на себя и на $1_R$). Добавим ещё один элемент -- $d''$. Если $d''$ делится на $d'$, то всё в порядке. Но что, если нет? Если кроме этих трёх никаких других общих делителей нет, то НОД не существует. Но мы знаем(?), что если число $x$ делится на $m$ и на $n$, то оно также делится и на их произведение $mn$. Это вроде бы очевидно (интуиция из $\mathbb{Z}$), но если $R = \Z[\sqrt{-5}]$ и $a = 6$, а $b = 2 + 2\sqrt{-5}$, то можно видеть, что оба делятся на $2$ и $1+\sqrt{-5}$, но при этом $6$ не делится на $2+2\sqrt{-5}$. Почему в $\mathbb{Z}$ верно $a|x, b|x \implies ab|x$, но в других кольцах это может быть неверно? Это связано с https://en.wikipedia.org/wiki/Euclid's_lemma, видимо, на этом и держится основная теорема арифметики. Хотелось бы самому понять, какое свойство здесь ключевое.

[Connector]

Кстати, и в целых утверждение верно если $m$ и $n$ взаимно просты, а в общем случае неверно.

[arseniiv]

qvverty в сообщении #1399963 писал(а):

Но мы знаем(?), что если число $x$ делится на $m$ и на $n$, то оно также делится и на их произведение $mn$.

qvverty в сообщении #1399963 писал(а):

Почему в $\mathbb{Z}$ верно $a|x, b|x \implies ab|x$, но в других кольцах это может быть неверно?

Если число делится на 2 и 4, то оно делится на 8?

-- Вт июн 18, 2019 20:12:20 --

Вообще же вот тут должен быть ответ: https://en.wikipedia.org/wiki/GCD_domain. Это страница ровно про те кольца, где есть НОД.

[qvverty]

arseniiv, ну да, разумеется, произведение не должно превосходить само число. Замечание выше это уточняет: они должны быть взаимнопростыми.

Цитата:

https://en.wikipedia.org/wiki/GCD_domain. Это страница ровно про те кольца, где есть НОД.

Да, но мне бы хотелось из моего размышления придти к ответу. Без привлечения побочных определений/утверждений и пропуска большого количества шагов.

Скорее ближе вот это: https://en.wikipedia.org/wiki/Irreducible_element В $\mathbb{Z}$ верна импликация: неприводимый $\implies$ простой (потому что разложение однозначно). Но не во всех кольцах так. Может быть два разных разложения, в одном из которых данное число есть в качестве сомножителя (поэтому делит произведение), а в другом его уже нет (не делит ни один сомножитель), отсюда можно придти к определению уже unique factorization domain. Интуиция с $\mathbb{Z}$ состояла, получается, в отождествлении неприводимого с простым.

[arseniiv]

Так там приведена заодно иерархия колец разной степени похожести на $\mathbb Z$, и если читать про их соотношения, станет ясно, что на чём держится. Кроме того если вчитаться в страницу про лемму Евклида, на которую вы ссылались, там написано:

Цитата:

It is used to define prime elements, a generalization of prime numbers to arbitrary commutative rings.

то есть на этом ничего держаться не может, это будет просто определение, а возможность единственного разложения любого элемента на произведение простых с точностью до обратимого элемента на существовании НОД не «завязана»: GCD domains $\supset$ unique factorization domains, а не $\subset$. Он нужен, но его мало. Эквивалентные такой разложимости вещи выписаны например тут:
https://en.wikipedia.org/wiki/Unique_factorization_domain#Equivalent_conditions_for_a_ring_to_be_a_UFD
— куда можно попасть по очевидной ссылке с той, которую я уже дал. И какие-то более простые условия, чем те, вы вряд ли найдёте.