Периодические функции.

[Solaris86]

Пусть есть периодическая функция $f(x)$ с периодом $T$: $f(x\pm T) = f(x)$
Пытаюсь найти, чему будет равен период функции $f(ax), a \in \mathbb {R}, a\not=0$.
По графику видно, что период будет равен $\frac{T}{a}$, но не получается это формально доказать.

[Aritaborian]

Какое-то обсуждение на math.SE. (Простите, не вдавался в подробности, бежать надо; а ответить хотелось ;-) Прошу прощения, если это не то)

[Solaris86]

Aritaborian в сообщении #1399367 писал(а):

Какое-то обсуждение на math.SE. (Простите, не вдавался в подробности, бежать надо; а ответить хотелось Прошу прощения, если это не то)

Спасибо! Как раз то, но опять многие выкладки не ясны.

-- 15.06.2019, 16:55 --

Хотя бы вот эта:
Let $g(x):=f(ax+b)$.
As
$g(x+\frac{T}{a})=f(ax+T+b)=f(ax+b)=g(x)$,
the function $g$ has obviously the period $\frac{T}{a}$.

[Connector]

Solaris86 в сообщении #1399369 писал(а):

Хотя бы вот эта:
Let $g(x):=f(ax+b)$.
As
$g(x+\frac{T}{a})=f(ax+T+b)=f(ax+b)=g(x)$,
the function $g$ has obviously the period $\frac{T}{a}$.

А в чем проблема с этой выкладкой?

[Solaris86]

Connector в сообщении #1399371 писал(а):

Let $g(x):=f(ax+b)$.

Это понятно.

Connector в сообщении #1399371 писал(а):

As
$g(x+\frac{T}{a})=f(ax+T+b)=f(ax+b)=g(x)$,
the function $g$ has obviously the period $\frac{T}{a}$.

А вот это не понятно.
Как из утверждения $g(x):=f(ax+b)$ следует утверждение $g(x+\frac{T}{a})=f(ax+T+b)$?

[Sdy]

Solaris86
$g(x+\frac{T}{a}) = f(a(x+\frac{T}{a})+b) = f(ax+T+b)$

[Solaris86]

Sdy в сообщении #1399374 писал(а):

Solaris86
$g(x+\frac{T}{a}) = f(a(x+\frac{T}{a})+b) = f(ax+T+b)$

Вот это можно более подробно расписать (на основании каких свойств функции): $g(x+\frac{T}{a}) = f(a(x+\frac{T}{a})+b)$?

[Connector]

По-моему, на основании определения этой функции.

[Mikhail_K]

Solaris86 в сообщении #1399373 писал(а):

Как из утверждения $g(x):=f(ax+b)$ следует утверждение $g(x+\frac{T}{a})=f(ax+T+b)$?

А что вообще означает определение $g(x):=f(ax+b)$?
Оно означает, что для всех $x$ справедливо равенство $g(x)=f(ax+b)$.
Т.е. оно означает: что бы Вы ни подставили вместо $x$, равенство будет справедливо.
Т.е. оно означает, что, в частности, $g(1)=f(a\cdot 1+b)$, $g(2)=f(a\cdot 2+b)$, $g(-10)=f(-10a+b)$, и т.д.
Ну и $g(x+\frac{T}{a}) = f(a(x+\frac{T}{a})+b)$, как частный случай.

Здесь нужно вот что понимать.
Когда где-то Вы видите равенство $g(x)=f(ax+b)$ (или вообще, любое другое равенство), оно может означать разные вещи.
Может означать, что при каком-то $x$ справедливо $g(x)=f(ax+b)$, т.е. это уравнение и $x$ - его корень.
А может означать, что при всех $x$ справедливо это равенство. Тогда ещё пишут $g(x)\equiv f(ax+b)$.
В каком именно смысле использован знак равенства - должно быть ясно из контекста.
В частности, здесь у нас он использован во втором смысле: когда мы определяем функцию $g(x)$ (и пишем $:=$), мы должны её определить при всех $x$. Иначе это будет не определение просто, при каких-то $x$ она останется недоопределённой.

Так вот, когда знак равенства употреблён во втором смысле, вместо $x$ в такое равенство можно подставлять что угодно. В том числе и, например, $x+T/a$. Если Вас смущает "замена переменной $x=x+T/a$", можно (психологического комфорта ради) сделать так. Понятно, что при определении функции неважно, как обозначать её аргумент. То есть, записи $g(x):=f(ax+b)$ и, скажем, $g(y):=f(ay+b)$ означают одно и то же. И та и другая запись означают, что, в частности, $g(1)=f(a\cdot 1+b)$, $g(2)=f(a\cdot 2+b)$, $g(-10)=f(-10a+b)$, и т.д. - что бы мы ни подставили вместо $x$ или $y$.
Так что, чтобы не смущаться в этом моменте, можно вначале записать определение функции с другой буквой: например $g(y):=f(ay+b)$ при всех $y$. А затем сказать: раз при всех $y$, то значит и при $y=x+T/a$. И подставить это $y=x+T/a$ в это равенство. И получить $g(x+\frac{T}{a}) = f(a(x+\frac{T}{a})+b)$.

А вообще, это материал школьного курса математики, примерно седьмого класса. Когда школьникам пишут формулу $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$, то учат их понимать, что в эту формулу вместо $x$ и $y$ можно подставлять что угодно. Например, можно подставить $a$ вместо $x$, $b$ вместо $y$ и получить $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ (это та же самая формула, только с другими обозначениями). Или можно подставить $2x$ вместо $x$ и получить $(2x+y)^2=4x^2+4xy+y^2$. Так что я присоединюсь к недоумению Munin:

Munin в сообщении #1397578 писал(а):

Щас конец 2018-2019 года. Вы задаёте вопросы примерно из конца 1-го курса.
В середине 2017-2018 года вы интересовались примерно анализом 2-го курса.
В конце 2014-2015 годов вопросы были уровня 2-3 курса. И среди них вопросы уровня 4-5 курса.
Никнейм ваш вообще родом из 90-х (в лучшем случае 00-х) годов, серверная ОС Solaris.
Скажите, вы контрамот?

[Solaris86]

Mikhail_K в сообщении #1399378 писал(а):

Когда где-то Вы видите равенство $g(x)=f(ax+b)$ (или вообще, любое другое равенство), оно может означать разные вещи.
Может означать, что при каком-то $x$ справедливо $g(x)=f(ax+b)$, т.е. это уравнение и $x$ - его корень.
А может означать, что при всех $x$ справедливо это равенство. Тогда ещё пишут $g(x)\equiv f(ax+b)$.
В каком именно смысле использован знак равенства - должно быть ясно из контекста.

Вот, одно из проблемных мест: путаю, где просто равно, а где - тождественно равно.
Можете придумать для демонстрации реальное уравнение типа $g(x)=f(ax+b)$ для наглядности и сравнения с тождеством типа $g(x)\equiv f(ax+b)$?

Mikhail_K в сообщении #1399378 писал(а):

Так вот, когда знак равенства употреблён во втором смысле, вместо $x$ в такое равенство можно подставлять что угодно. В том числе и, например, $x+T/a$. Если Вас смущает "замена переменной $x=x+T/a$", можно (психологического комфорта ради) сделать так. Понятно, что при определении функции неважно, как обозначать её аргумент. То есть, записи $g(x):=f(ax+b)$ и, скажем, $g(y):=f(ay+b)$ означают одно и то же. И та и другая запись означают, что, в частности, $g(1)=f(a\cdot 1+b)$, $g(2)=f(a\cdot 2+b)$, $g(-10)=f(-10a+b)$, и т.д. - что бы мы ни подставили вместо $x$ или $y$.
Так что, чтобы не смущаться в этом моменте, можно вначале записать определение функции с другой буквой: например $g(y):=f(ay+b)$ при всех $y$. А затем сказать: раз при всех $y$, то значит и при $y=x+T/a$. И подставить это $y=x+T/a$ в это равенство. И получить $g(x+\frac{T}{a}) = f(a(x+\frac{T}{a})+b)$.

Да, у меня вызывала недоумение замена:
$x = x + \frac{T}{a}$, откуда $0 = \frac {T}{a}$.
С похожей проблемой подстановки я столкнулся при изучении определенного интеграла - одного из его свойств: определённый интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования
$\int\limits_a^b f(x)dx = \int\limits_a^b f(y)dy = \int\limits_a^b f(z)dz$ Я реально не мог понять, какой смысл вкладывают в это свойство (пока не увидел его использование при доказательстве одного утверждения ниже).
Пример из Письменного:

Вот тут у меня просто выносило мозг, как вертят этим свойством (я отметил красным на картинке).
Как я понимаю, в случае $\int\limits_a^b f(x)dx = \int\limits_a^b f(y)dy = \int\limits_a^b f(z)dz$ может спокойно оказаться, что
$x = g(y)$, а $z = h(x,y)$, так?

Mikhail_K в сообщении #1399378 писал(а):

А вообще, это материал школьного курса математики, примерно седьмого класса. Когда школьникам пишут формулу $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$, то учат их понимать, что в эту формулу вместо $x$ и $y$ можно подставлять что угодно. Например, можно подставить $a$ вместо $x$, $b$ вместо $y$ и получить $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ (это та же самая формула, только с другими обозначениями). Или можно подставить $2x$ вместо $x$ и получить $(2x+y)^2=4x^2+4xy+y^2$. Так что я присоединюсь к недоумению Munin:

Ну, я не вижу тут причин для недоумения: понимание, что равенство $(2x+y)^2=4x^2+4xy+y^2$ есть тождество $(2x+y)^2\equiv4x^2+4xy+y^2$ у меня сложилось и не вызывало проблем, а случае с функциями у меня такого понимания не сложилось, это особенности моей психики и моего восприятия. Я не математик и склад ума у меня не совсем математический, поэтому мне реально ТЯЖЕЛО даются некоторые очевидные для других вещи.

[Aritaborian]

Solaris86 в сообщении #1399391 писал(а):

Вот тут у меня просто выносило мозг, как вертят этим свойством (я отметил красным на картинке).

Им, как вы выражаетесь, вертят, как, конечно, хотят, но по строгим правилам. Во-первых, мы не можем заменить в выражении $x$ на $-t$, $2t$, $\cos t$, если в нашем выражении уже присутствует $t$. Это раз...

[Munin]

Solaris86 в сообщении #1399391 писал(а):

Пример из Письменного

Зачем вы читаете бяку? Вам уже много раз сказали эту книжку не читать. Вам сложно даются вещи, которые другие люди читают по хорошим учебникам без ошибок и странностей.

[Mikhail_K]

Solaris86 в сообщении #1399391 писал(а):

Вот тут у меня просто выносило мозг, как вертят этим свойством

Тут нужно понимать две простые штуки.
1) Переменная интегрирования в определённом интеграле - это вообще не свободная переменная, это (грубо говоря) просто буковка, закорючка, нужная нам, чтобы записать интеграл.
Определённый интеграл - это же просто площадь под графиком функции; ясно, что эта площадь не может зависеть от того, какой буквой мы обозначим ось абсцисс.
Никакого сакрального смысла обозначение переменной интегрирования не несёт, им можно вертеть как угодно.

2) "Вертя этим свойством", важно следить только за одним: чтобы не было конфликта обозначений.
То есть, чтобы в одной и той же записи разные величины не оказались обозначенными одной буквой.
Например, если у нас есть интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$, то мы не можем в нём переобозначить $x$ на $y$ и записать $\int\limits_a^bf(x,y)dx=\int\limits_a^bf(y,y)dy$. Потому что обозначение $y$ уже занято (под другую переменную), а мы в рамках той же записи обозначаем разные объекты одной и той же буквой. Это приведёт к путанице и ошибке.
НО в выделенном фрагменте книги ситуация другая: когда мы сделали замену переменной $x=-t$, в получившемся выражении у нас больше никакого $x$ нет, поэтому нам ничто не мешает переобозначить $t$ на $x$: при этом не будет конфликта обозначений, в каждой конкретной записи разные величины будут обозначаться разными буквами, как это и нужно.

А что складывается впечатление, что "в начале $x$ один, а в конце $x$ другой" - то и пусть, ведь переменная интегрирования - вообще не свободная переменная (от конкретного значения которой может что-то зависеть), а просто буковка для записи интеграла.
Интеграл можно записывать вообще без переменной интегрирования: существует такая форма записи, когда вместо $\int\limits_a^b f(x)dx$ пишут $I_{a+}f(b)$. Такая форма не всегда удобна, но она удобна тем, что в ней ясно видно: никакой "переменной интегрирования" как самостоятельной сущности в определённом интеграле нет.

Общий совет может быть только один: работая с формулами, обращать внимание в первую очередь на их смысл. Формальная игра с формулами по каким-то заранее определённым "правилам" без понимания смысла этих формул, как правило, ведёт к ошибкам.

[Solaris86]

Mikhail_K в сообщении #1399404 писал(а):

1) Переменная интегрирования в определённом интеграле - это вообще не свободная переменная, это (грубо говоря) просто буковка, закорючка, нужная нам, чтобы записать интеграл.

Mikhail_K в сообщении #1399404 писал(а):

А что складывается впечатление, что "в начале $x$ один, а в конце $x$ другой" - то и пусть, ведь переменная интегрирования - вообще не свободная переменная (от конкретного значения которой может что-то зависеть), а просто буковка для записи интеграла.

Так когда переменная является свободной переменной, а когда - просто формальной закорючкой?! Тут я тоже поплыл, потому что раньше вообще над этим не задумывался (только не говорите, что это проходят в шестом классе, а то такими темпами дойдём до того, что я даже на момент зачатия уже имел пробелы по математике )

[Mikhail_K]

Solaris86
Насчёт "формальной закорючки" тоже надо сделать уточнение.
Когда мы пишем $\int\limits_a^b f(x)dx$, то можем считать здесь $x$ "формальной закорючкой" (по обозначенным выше причинам; в частности, можно этот интеграл и вообще без всякой $x$ записать).
Но если, работая с интегралом, мы как-то преобразуем подынтегральное выражение, то можем временно забыть про интеграл и работать только с этим выражением. И там уже $x$ - самая настоящая переменная. Но потом, преобразовав выражение как нам надо, мы его всё равно возвращаем в интеграл, и $x$ снова становится "формальной закорючкой".

Такая же ситуация, например, с индексом под знаком суммы.
Понятно, что в сумме $\sum\limits_{i=1}^5 a_i$ от индекса $i$ ничего не зависит. Можно ту же сумму записать, например, и так: $\sum\limits_{j=1}^5 a_j$. В случае сумм это особенно просто понять, просто расписать эту сумму: $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$ - и сразу видно, что никакого $i$ и никакого $j$ тут на самом деле нет.

А интеграл - это ведь тоже, по сути, сумма (точнее, предел интегральных сумм).