Неравенство из доказательства сложности алгоритма Карацубы

[YuryS]

Помогите разобраться в одном неравенстве из доказательства оценки сложности алгоритма Карацубы.

В известной книге J. von zur Gathen, J.Gerhard "Modern Computer Algebra" (https://www.twirpx.com/file/1252085/)
в Лемме 8.2 доказывается оценка сложности для рекурсивных алгоритмов некоторого типа, под который подпадает, в частности, алгоритм Карацубы.

В частности, в первом пункте доказательства выводится следующее промежуточное неравенство к которому нет вопросов:

$T(n) \leqslant dn^{\log b} + \frac{c}{b-c} S(n) ( n^{\log ( b/c )} - 1)$, если $b\ne c$, $(1)$

где $b,c,d$ есть положительные вещественные числа, логарифм берется по основанию 2, а T и S есть функции из натуральных чисел в натуральные числа.

Далее показывается, что

$dn^{\log b} \leqslant ( \frac{d}{S(1)} ) S(n) n^{\log ( b/c) }$ , $(2)$

Тогда, пользуясь неравенством (2), можно перейти от неравенства (1) к следующему неравенству (3):

$T(n) \leqslant ( \frac{d}{S(1)}) S(n) n^{\log (b/c)} + \frac{c}{b-c} S(n) ( n^{\log ( b/c )} - 1) $, если $b \ne c$, (3)

А теперь, собственно, шаг, который и вызывает вопрос - далее авторы переписывают неравенство (3) в виде следующего неравенства (4):

$T(n) \leqslant ( \frac{d}{S(1)} + \frac{c}{b-c}) S(n) n^{\log (b/c)}$, если $b \ne c$, (4)

Вопрос - а куда делся при выносе за скобки $S(n) n^{\log(b/c)}$ множитель $( 1 - \frac{1}{n^{\log (b/c)}})$ при $\frac{c}{b-c}$ ?

При $b > c$, неравенство (4), действительно, следует из (3) ( в формулах, $n$ есть степень 2).
Но при $b < c$, мы же не можем так просто отбросить множитель $( 1 - \frac{1}{n^{\log (b/c)}})$. В чем тут дело ? Спасибо.

[nnosipov]

YuryS в сообщении #1399124 писал(а):

В чем тут дело ?

Такое ощущение, что неявно предполагается неравенство $b>c$. Можно посмотреть в книге все места, где применяется Лемма 8.2 (их немного), и если там по факту всюду $b>c$, то и хорошо. (А если не всюду, то тогда дальше думать надо ...)