О непрерывности значений координат кривой Безье...

[artful7]

Допустим, строится кривая Безье и каждая ее точка определяется двумя
координатами, вычисляемыми на основе функций x(t) и y(t). Поскольку значение
параметра t лежит в интервале [0, 1], то следовательно, значение t - непрерывная
величина и (теоретически) можно задать любое ее значение.
С другой стороны, когда дана уже построенная кривая Безье, то можно ли будет получить непрерывное значение координаты y на основе задаваемого непрерывного (т.е. любого) значения координаты x?

[abc_qmost]

artful7 писал(а):

Допустим, строится кривая Безье и каждая ее точка определяется двумя
координатами, вычисляемыми на основе функций x(t) и y(t). Поскольку значение
параметра t лежит в интервале [0, 1], то следовательно, значение t - непрерывная
величина и (теоретически) можно задать любое ее значение.
С другой стороны, когда дана уже построенная кривая Безье, то можно ли будет получить непрерывное значение координаты y на основе задаваемого непрерывного (т.е. любого) значения координаты x?

В общем случае y(x) является многозначной функцией, т.е. Ваше предположение не верно.

[artful7]

Это, конечно, справедливо, но только для общего случая.

Ну а если кривая Безье будет построена так, как это изображено на рисунке? Здесь точки x упорядочены в виде строго возрастающей последовательности, а сама кривая - не замкнута.

[незваный гость]

Если Вы имеете в виду кубическую кривую, то Ваш график не бывает.

Дело не только в многозначности к.Б. Рассмотрите кривую с опорными точками $(0,0)$, $(2,1)$, $(-1,1)$, $(1,0)$ (с петлёй). Если мы возьмём точку на петле, и начнём двигаться вправо, то $y$ будет меняться непрерывно как функция $x$. До $x = \frac{5+\sqrt5}{10} \approx 0.723$. В этот момент станет меняться некуда, и произойдёт перескок на нижнюю ветку.

artful7 писал(а):

Поскольку значение параметра t лежит в интервале [0, 1], то следовательно, значение t - непрерывная величина и (теоретически) можно задать любое ее значение.

Что-то очень непонятное. К.Б. — множество точек $(x(t),y(t))$ для всех $t \in [0,1]$. Без всяких теоретически.

[abc_qmost]

незваный гость писал(а):

...Дело не только в многозначности ...

Я довольно хорошо знаком с этой темой: использовал ее в задачах (на уровне постановки задач и их реализаций) распознования рукописного текста и графической информации.

[artful7]

Цитата:

Если Вы имеете в виду кубическую кривую, то Ваш график не бывает.

Я неточно выразился. На рисунке имелась в виду составная кривая Безье - составленная из элементарных кривых Безье. Поэтому приведенный мною график - реален.

[незваный гость]

abc_qmost
Моё сообщение было адресовано, вообще говоря, не Вам. В Ваших знаниях я не сомневаюсь, но для artful7 мне представилось полезным рассказать подробнее, что тут происходит.

artful7 писал(а):

Я неточно выразился. На рисунке имелась в виду составная кривая Безье - составленная из элементарных кривых Безье.

Так что же Вы всё таки хотите, с учётом вышесказанного? Может ли набор к.Б. задавать однозначное отображение $y(x)$ — да. Будет ли оно непрерывным — да. Всегда ли отображение будет однозначным — нет. Всегда ли его можно доопределить как непрерывное (выбрав одну из ветвей многозначного отображения) — нет.

[artful7]

незваный гость

Цитата:

Может ли набор к.Б. задавать однозначное отображение $y(x)$ — да. Будет ли оно непрерывным — да.

Это мне и надо было подтвердить, учитывая, что кривая составлена из элементарных фрагментов. Но следующее Ваше высказывание немного неясно.

Цитата:

Всегда ли отображение будет однозначным — нет.

Не это ли имелось в виду: