Отбрасывание бесконечно малой вышего порядка?

[Andrey from Mos]

Добрый день всем.

Возник вопрос по поводу вот такого выражения: $(\rho+\frac{\partial\rho}{\partial x}dx)\cdot(u+\frac{\partial u}{\partial x}dx)$.
Я перемножил и в виде последнего слагаемого получил вот, что: $\frac{\partial\rho}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial x}dxdx$

Можно ли его отбросить ввиду большой малости?

[Pphantom]

Andrey from Mos в сообщении #1399028 писал(а):

Можно ли его отбросить ввиду большой малости?

Смотря с какой целью вы это делаете.

Дифференциал - это вообще-то просто функция, так что выражение с дифференциалами вполне можно записать точно. Другое дело, если каждый из множителей сам был не точным выражением, а линейным приближением чего-то другого - тогда учет квадратичных членов в произведении действительно не нужен.

[Andrey from Mos]

Речь идет о бесконечно малом параллелепипеде в жидкости (объёме жидкости). $\rho$ - это плотность, а $u$ - скорость. Обе эти величины рассматриваются на входе в параллелепипед (то есть втекание в него). А то, что в скобках, это уже выражение на выходе из него, то есть на вытекании. Считаем, что скорость меняется по координате и плотность тоже меняется.

По-моему, если я Вас правильно понял, это и есть именно линейное приближение: значение на входе+линеаризованное приращение величины на бесконечно малом отрезке = значение на выходе.

Это у меня в связи с выводом уравнения неразрывности сжимаемой жидкости


PS: на счет того, что дифференциал это функция я не задумывался до сих пор. Интересное замечание, спасибо. Подумаю над этим

[Pphantom]

Да, тогда можно и нужно. Но именно потому, что каждый из сомножителей сам по себе - приближение, а не точное выражение. Формально правильнее было бы в подобных случаях писать что-то вроде $(\rho+\frac{\partial\rho}{\partial x}dx + o(dx))\cdot(u+\frac{\partial u}{\partial x}dx + o(dx))$, но экономии ради это не делают (но вот помнить, что это подразумевается, все же стоит).

[Andrey from Mos]

Спасибо за пояснения. Ну-да, мы же дифференциал используем обычно, не думая, что там еще высшего порядка малости величина есть. Её просто отбрасываем и забываем. Получается, что выражение приближённое. А как правильно назвать вот этот член, который я отбросил (в моем приведенном примере)? Это что-то типа величины высшего порядка малости?
Получается перемножение произведения двух частных производных на произведение двух бесконечно малых приращений

[Pphantom]

Andrey from Mos в сообщении #1399129 писал(а):

Это что-то типа величины высшего порядка малости?

Да. Он же порядка $(dx)^2$.

[Eule_A]

Pphantom в сообщении #1399036 писал(а):

Формально правильнее было бы в подобных случаях писать что-то вроде $(\rho+\frac{\partial\rho}{\partial x}dx + o(dx))\cdot(u+\frac{\partial u}{\partial x}dx + o(dx))$

Вроде бы даже не $dx$, а $\Delta x$, чтобы уж совсем хорошо было.

[Pphantom]

Eule_A в сообщении #1399131 писал(а):

Вроде бы даже не $dx$, а $\Delta x$, чтобы уж совсем хорошо было.

А все равно. Для функции $f(x)=x$ приращение аргумента, приращение функции и линейная часть приращения функции совпадают, так что $\Delta x = dx$.

[Andrey from Mos]

Если я правильно Вас понимаю, то при не отбрасывании величины высшего порядка малости (второго слагаемого), то есть для выражения вида: $\frac{\partial u}{\partial x}\cdot dx+\theta (dx)$ не важно, что брать - $dx$ или $\Delta x$ (если речь про все выражение целиком). Все выражение в любом случае будет равно приращению функции. Другое дело, что в случае с ощутимым приращением аргумента (не бесконечно малым), наш дифференциал не будет бесконечно близко подходить к приращению функции, а станет прилично от неё отличаться. Это, конечно, для случая, если рассматриваемая функция не линейна.

Ну а если функция линейна, то дифференциал (линейная часть) при любом приращении аргумента (и при бесконечно малом и при ощутимом) будет равен приращению функции.
Как-то так я это понимаю

[Eule_A]

Andrey from Mos
Разговор про $dx$ и $\Delta x$ - это уже к формальной стороне ближе. То, что сейчас Вы говорите, обычно пишут в учебниках анализа при введении понятия дифференциала. Посмотрите там.

Если же возвращаться к исходному вопросу, то отбрасывать второй порядок малости или нет - это вопрос точности, в которой Вы ведёте вычисления. Если достаточно (по тем или иным причинам) линейного приближения, значит, выписанное Вами в первом сообщении слагаемое следует выбросить. Если же почему-нибудь Вы решите удержать это слагаемое, то во всех выкладках Вам придётся удерживать слагаемые второго порядка малости. Идеология такая.

[Pphantom]

Andrey from Mos в сообщении #1399175 писал(а):

$\frac{\partial u}{\partial x}\cdot dx+\theta (dx)$

Только оно все-таки не $\theta()$, а $o()$. Это стандартное обозначение.

[Andrey from Mos]

Простите за флуд- букву не нашёл(((

[Someone]

Andrey from Mos в сообщении #1399180 писал(а):

Простите за флуд- букву не нашёл(((

Э-э-э… У Вас клавиша с латинской буквой "o" потерялась?

[Andrey from Mos]

Какое же это "о"? "О" - прямое, а там какое-то "о" наклонное

Кстати, а есть разница между такими обозначениями функции: $y=f(x)$ и $y=y(x)$?

[Someone]

Andrey from Mos в сообщении #1399227 писал(а):

Какое же это "о"? "О" - прямое, а там какое-то "о" наклонное

Вы же не попробовали окружить его долларами: $o$.

Andrey from Mos в сообщении #1399227 писал(а):

Кстати, а есть разница между такими обозначениями функции: $y=f(x)$ и $y=y(x)$?

Оба используются. А уж какая разница… Первое более аккуратное и означает, что переменной $y$ присваивается значение функции $f$ при значении аргумента, равном $x$, то есть, это фактически определение символа $y$. Второе обычно интерпретируется как указание на то, что $y$ является функцией переменной $x$.
Вообще, при аккуратном подходе следует различать функцию $f$ и её значение $f(x)$ (или даже $fx$ — без скобок, как, например, в $\sin x$). Но по школьной традиции на это всё плюют и пишут, как хотят.