Свойство решений диофантова уравнения

[nnosipov]

Докажите, что для любого решения $(x,y)$ уравнения $y^2+y=x^3-x$ в натуральных числах имеет место неравенство

$$\gcd{(x,y+1)}<\sqrt{\frac{2x^3}{y}}.$$

Комментарий. Уравнение имеет конечное множество решений $(x,y)$ в целых числах, однако маловероятно, что его можно найти элементарными методами (а применять неэлементарные было бы не совсем спортивно).

[Shadow]

Пусть $x=ta,y+1=tb,\gcd(a,b)=1$

В новых обозначениях условие сводится к $b<2a^3$, а уравнение к $(tb-1)b=a(t^2a^2-1)$

Или рассматривая как квадратное от $t$

$a^3t^2-b^2t+b-a=0$

с дискриминантом

$b^4-4a^3b+4a^4$ который должен быть точный квадрат. А при $b\ge 2a^3$

$(b^2-2a^3-1)^2<b^4-4a^3b+4a^4<(b^2-2a^3)^2$

Если чудом нигде не ошибся, то двойное неравенство верно и при $b> \sqrt 2 a^3$

[nnosipov]

Shadow
Да, что-то в этом духе. Завтра на свежую голову почитаю.

Я уж думал, что никто не напишет. Сама задача выглядит несколько искусственно, но это не от хорошей жизни.

[nnosipov]

Shadow в сообщении #1398982 писал(а):

$(b^2-2a^3-1)^2<b^4-4a^3b+4a^4<(b^2-2a^3)^2$

По-моему, здесь с правым неравенством проблемы. Имеем $(b^2-2a^3)^2-(b^4-4a^3b+4a^4)=4a^3(-b^2+a^3+b-a)$. Но последнее выражение не может быть положительным при больших $b$.

На самом деле нужно доказывать вот такое двойное неравенство: $(b^2-1)^2<b^4-4a^3b+4a^4<b^4$, оно как раз верно при $b>2a^3$. Натолкнуть на это может разложение

$$\sqrt{b^4-4a^3b+4a^4}=b^2-\frac{2a^3}{b}+O\left(\frac{1}{b^2}\right), \quad b \to \infty.$$

Так что все в порядке

Мой способ решения длиннее, так как мне почему-то показалось, что доказательство утверждения $b^4-4a^3b+4a^4 \neq \square$ может быть непростым. Теперь вижу, что был неправ.