2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Свойство решений диофантова уравнения
Сообщение08.06.2019, 20:39 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Докажите, что для любого решения $(x,y)$ уравнения $y^2+y=x^3-x$ в натуральных числах имеет место неравенство $$\gcd{(x,y+1)}<\sqrt{\frac{2x^3}{y}}.$$Комментарий. Уравнение имеет конечное множество решений $(x,y)$ в целых числах, однако маловероятно, что его можно найти элементарными методами (а применять неэлементарные было бы не совсем спортивно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойство решений диофантова уравнения
Сообщение12.06.2019, 20:02 


26/08/11
2057
Пусть $x=ta,y+1=tb,\gcd(a,b)=1$

В новых обозначениях условие сводится к $b<2a^3$, а уравнение к $(tb-1)b=a(t^2a^2-1)$

Или рассматривая как квадратное от $t$

$a^3t^2-b^2t+b-a=0$

с дискриминантом

$b^4-4a^3b+4a^4$ который должен быть точный квадрат. А при $b\ge 2a^3$

$(b^2-2a^3-1)^2<b^4-4a^3b+4a^4<(b^2-2a^3)^2$

Если чудом нигде не ошибся, то двойное неравенство верно и при $b> \sqrt 2 a^3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойство решений диофантова уравнения
Сообщение12.06.2019, 20:11 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Shadow
Да, что-то в этом духе. Завтра на свежую голову почитаю.

Я уж думал, что никто не напишет. Сама задача выглядит несколько искусственно, но это не от хорошей жизни.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойство решений диофантова уравнения
Сообщение13.06.2019, 05:52 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Shadow в сообщении #1398982 писал(а):
$(b^2-2a^3-1)^2<b^4-4a^3b+4a^4<(b^2-2a^3)^2$
По-моему, здесь с правым неравенством проблемы. Имеем $(b^2-2a^3)^2-(b^4-4a^3b+4a^4)=4a^3(-b^2+a^3+b-a)$. Но последнее выражение не может быть положительным при больших $b$.

На самом деле нужно доказывать вот такое двойное неравенство: $(b^2-1)^2<b^4-4a^3b+4a^4<b^4$, оно как раз верно при $b>2a^3$. Натолкнуть на это может разложение $$\sqrt{b^4-4a^3b+4a^4}=b^2-\frac{2a^3}{b}+O\left(\frac{1}{b^2}\right), \quad b \to \infty.$$Так что все в порядке :-)

Мой способ решения длиннее, так как мне почему-то показалось, что доказательство утверждения $b^4-4a^3b+4a^4 \neq \square$ может быть непростым. Теперь вижу, что был неправ.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group