Бесконечность множества простых чисел из топологии на N

[x0rr]

есть множество натуральных чисел N
на нем задана топология в виде множества бесконечных арифметических прогрессий
доказать бесконечность множества простых чисел, используя эту топологию
типа в противном случае множество {1} должно быть открытым
как это сделать?

[Егор]

Для определённости, натуральные числа начинаем с 1. Рассматривается топология, базу которой образуют множества вида
X(a,b)={a(n-1)+b: n из N}, где a, b из N.

1. Это действительно база топологии: пересечение X(a,b) и X(c,d) либо пусто, либо имеет вид X(e,f), где e=НОК(a,c).

2. Из определения этой топологии следует, что любое открытое множество бесконечно.

3. Множества вида X(a,b) не только открыты, но и замкнуты: любая арифметическая прогрессия получается из N выбрасыванием нескольких других арифметических прогрессий.

4. Любое натуральное число, кроме 1, имеет простой делитель. Следовательно, дополнение к {1} есть объединение множеств вида
X(p,p)={pk: k из N}, где p - простое число.

5. Докажем, что множество простых чисел бесконечно. От противного: пусть множество простых чисел конечно. Тогда дополнение к {1} замкнуто (как конечное объединение замкнутых множеств), а множество {1} открыто. Но это противоречит предложению 2.

(Задачка полезна не только для тех, кто начинает изучать топологию. Она показывает, как прятать пару простых идей в облаке абстракций.)

[x0rr]

спасибо вам большое за столь обстоятельное решение задачи ))

[x0rr]

кстати, Егор, а ведь n-1 уже не принадлежит N
или на это закрываем глаза? ))

[Егор]

x0rr писал(а):

кстати, Егор, а ведь n-1 уже не принадлежит N
или на это закрываем глаза? ))

Не понял вопрос, но попытаюсь ответить. Возможно, речь идёт про определение арифметической прогрессии:
X(a,b)={a(n-1)+b: n из N}, где a, b из N.
Можно записать как an-a+b, но можно и так оставить. Мы действуем не в формальной арифметике и не обязаны делать все промежуточные выкладки в N. Важно, чтобы результат был в N.

[x0rr]

значит закрываем глаза на промежуточные результаты
именно это я и хотел выяснить, спасибо ))