Термы

[GlobalMiwka]

Здравствуйте!

Дано.

Переменная $x$ добавляет к терму один аргумент; обозначим это обстоятельство через $A(x)=1$. Функциональный символ $f$ ранга $n$ поглощает $n$ аргументов, давая взамен один — в аналогичных обозначениях имеем $A(f)=1-n$. Докажите, что если $e=s_1...s_m$ — терм, то $A(e)=A(s_1)+...+A(s_m)=1$, и выразите термы $e$ через частичные суммы $A(s_1...s_i), 1<i<m$.

Что значит "Переменная $x$ добавляет к терму один аргумент"?

[Munin]

А что значит "терм", "функциональный символ", "переменная", "аргумент"? Вы понимаете?

[GlobalMiwka]

Из задачи ясно, что не совсем. Теперь бы понять, что мне не до конца ясно.

Как я понял из учебника терм - это выражение языка, которое "интерпретируется как наименование входящих в какую-либо структуру предметов." Функциональный символ - как функция с аргументами из этой же структуры, результатом которой является терм, если аргументы - термы. Аргументы тоже термы, а всегда ли не ясно.
Переменная тоже терм.

-- 08.06.2019, 18:00 --

Терм является выражением, выражение может содержать терм в виде переменной или терм в виде функционального символа с аргументами в виде термов. Верный ход мыслей?

[Munin]

GlobalMiwka в сообщении #1398403 писал(а):

Из задачи ясно, что не совсем. Теперь бы понять, что мне не до конца ясно.

Тогда желательно для начала буквально процитировать определение.

Слово term в разговорном смысле в английском языке - то же, что у нас "одночлен" в составе многочлена. То есть:

equation
expression = expression
term + term + term + term
number · variable · variable · variable

Вот, видимо, примеры, о которых речь в вашем учебнике:

$x,xy,x\,f(y),g(x,y)\,z,f(g(x,h(y)))$ - термы;
$x,y,z$ - переменные;
$f(\cdot),g(\cdot,\cdot),h(\cdot)$ - функциональные символы.

[george66]

Термы - это названия предметов. Например
$2+2, 2\times 2, 4$
это три разных названия одного и того же (числа четыре). Термы строятся с помощью функциональных символов ($+,\times$ и т.д.) из констант (вроде $2$) и переменных. Например
$x+2$
это терм, содержащий одну переменную. Учитесь по книге Верещагин, Шень "Языки и исчисления" (первую главу про сложность булевых функций можно пропустить, это их любимая тема, они везде её вставляют).

[GlobalMiwka]

Munin в сообщении #1398407 писал(а):

Вот, видимо, примеры, о которых речь в вашем учебнике:

А что не совсем верно ?

-- 08.06.2019, 19:33 --

george66 в сообщении #1398412 писал(а):

Учитесь по книге Верещагин, Шень "Языки и исчисления".

Поищу, посмотрю.

[Munin]

Munin в сообщении #1398407 писал(а):

Тогда желательно для начала буквально процитировать определение.

Из вашего учебника. А не из Верещагина, Шеня. Потому что определения могут быть разные.

[GlobalMiwka]

Из книги Верещагина, Шеня:

Определим понятие терма данной сигнатуры. Термом называется последовательность переменных, запятых, скобок и символов сигнатуры, которую можно построить по следующим правилам:
1. Индивидная переменная есть терм.
2. Функциональный символ валентности 0 есть терм.
3. Если $t_1, . . . , t_k$ — термы, а $f$ — функциональный символ валентности $k > 0$, то $f(t_1, . . . , t_k)$ есть терм.
В принципе можно было не выделять функциональные символы валентности 0 (которые также называют константами) в отдельную группу, но тогда бы после них пришлось писать скобки.

Если пользоваться этим определением, то тогда если $e$ - терм, то рассматривать $e$ как результат некоторой функции $e=f(s_1,...,s_m)$ ?

-- 08.06.2019, 21:25 --

наверное под $e$ мне надо понимать переменную ?

-- 08.06.2019, 22:01 --

в голову приходит только следующее:

1. $e$ - переменная, т.е. терм значением, которого является терм $fs_1...s_k$, поэтому $A(e)=1$
2. $s_1...s_m$ значение выражения представляется как $fs_1...s_m$ тогда $A(f) + A(s_1)+...+A(s_m)=1-m + \underbrace{1 +...+ 1}_{\textit{m}} = 1-m + m = 1$ хотя в задаче нет $A(f) + A(s_1)...$

А что значит частичные суммы мне все равно не ясно.

[Munin]

У вас же есть какой-то учебник. Другой. Почему вы не можете его процитировать?

[george66]

Кажется, в "Острове Крым" есть момент, когда русскоязычный человек из-за границы впервые приезжает в Советский Союз и видит плакат "Пятилетке качества - рабочую гарантию!" И вот он стоит, выпучив глаза и пытается провести грамматический разбор.

GlobalMiwka в сообщении #1398422 писал(а):

Если пользоваться этим определением, то тогда если $e$ - терм, то рассматривать $e$ как результат некоторой функции $e=f(s_1,...,s_m)$ ?

Задача: найдите в этой фразе подлежащее и сказуемое.

[GlobalMiwka]

Munin в сообщении #1398442 писал(а):

У вас же есть какой-то учебник. Другой. Почему вы не можете его процитировать?

Наверное, даже если определения отличаются они ведь должны быть эквивалентными. Из книги, что я читаю:

"Термы. Мы будем рассматривать (кроме символов) лишь две основные категории выражений: термы и формулы. Термы будут играть роль существительных и местоимений и интерпретироваться как наименования входящих в какую-либо структуру предметов. Такое истолкование получают прежде всего переменные, которые и причисляются поэтому к термам. Далее мы будем интерпретировать функциональный символ $f$ ранга $n$ как функцию $n$ аргументов, входящих в данную структуру, значения которой также принадлежат этой структуре. Если $t_1 .... t_n$ — термы, являющиеся именами некоторых предметов из структуры, то выражение $ft_1 ... t_n$ мы будем понимать как терм, служащий именем значения функции, именуемой $f$, для этих $n$ значений аргументов. О термах не будет предполагаться ничего сверх того, что вытекает из этих условий. Более точно, мы определяем множество $T$ термов как минимальное из всех множеств $U$ выражений языка $L$, такое, что

A) $V\subseteq U$,
B) если $f$ принадлежит $F_n$, a $t_1...t_n$ принадлежат $U$, то $ft_1 ... t_n$ принадлежит $U$. "

[Munin]

GlobalMiwka в сообщении #1398454 писал(а):

Наверное, даже если определения отличаются они ведь должны быть эквивалентными.

Нет, это не настолько унифицированная область математики (в отличие, скажем, от общей алгебры). В разных учебниках могут быть изложены несколько разные версии одной и той же теории, разными словами и определениями.

[GlobalMiwka]

george66 в сообщении #1398443 писал(а):

GlobalMiwka в сообщении #1398422 писал(а):

Если пользоваться этим определением, то тогда если $e$ - терм, то рассматривать $e$ как результат некоторой функции $e=f(s_1,...,s_m)$ ?

Задача: найдите в этой фразе подлежащее и сказуемое.

Подлежащее, наверное, "$e$ - терм" и тут все, приехали

[GlobalMiwka]

Может комментарий к следующей задаче поможет прояснить ситуацию.

Используя предыдущее упражнение, докажите, что равенство $e=fg$, где $e$ и $f$ — термы, возможно лишь в том случае, когда $g$— тривиальное выражение (тривиальное выражение - выражение длины нуль).

Вопрос. Получается, что $g$ - выражение, но терм ? Я абсолютно не понимаю как может быть законной запрись $A(e)=A(s_1)+...+A(s_m)=1$