Доказательство формулы

[trunb1]

Возникли вопросы по доказательству формулы Тейлора.
$f(x)=P(x)+r(x)$, где $r(x)=o(|x-a|^k)$, $P(x)=f(a)+df(a)+...+\frac{1}{k!}d^kf(a)$
1)База $k=1$
2)Предположение: $k>1$
$r(x)=r(x)-r(a)=r(a+\Delta x)-r(a)=D_1+...+D_n$(Легко проверяется, например, для функции трех переменных)
где при $s=\overline{1...n}$
$D_s=r(a_1+\Delta x_1,...,a_s+\Delta x_s,a_{s+1},...,a_n)-r(a_1+\Delta x_1,...,a_{s-1}+\Delta x_{s-1},a_s,...,a_n)$
По формуле Лагранжа:
$D_s=r'_{x_s}(a+v_s)\Delta x_s$, где $v_s=(\Delta x_1,...,\Delta x_{s-1},\theta \Delta x_s,0,...,0)$, $\theta \in (0,1)$
Тогда:
$r(x)=r'_{x_1}(a+v_1)\Delta x_s+...+r'_{x_n}(a+v_n)\Delta x_n$
В силу предположения индукции:
$r'_{x_s}(a+v_s)\Delta x_s=o(|x-a|^{k-1})$ $(1)$
Тогда
$r(x)=o(|x-a|^k)$ $(2)$

Мне не понятны только два момента:
1)Пункт $(1)$: Из каких соображений получилось предположение индукции в пункте $(1)$ - не понятно. Мы же предположили, что при $(k-1)$ формула верна. То есть:
$f(x)=f(a)+df(a)+...+\frac{1}{(k-1)!}d^{k-1}f(a)+o(|x-a|^{k-1})$.
2)Пункт $(2)$: Почему, доказав, что остаточный член равен: $o(|x-a|^k)$ мы доказали теорему? Нужно же еще доказать, что формула верна для многочлена Тейлора $k$-го порядка.

[DeBill]

trunb1 в сообщении #1398193 писал(а):

Мне не понятны только два момента:

А вот мне что то непонятно совсем всё....
Например: Индукция по $k$ (порядку формулы) или таки по $n$ (размерности )?
Почему в формуле для $P(x)$ нет вааще ни одного икса?

[trunb1]

DeBill
Индукция по порядку формулы

-- 07.06.2019, 10:15 --

Согласен, тут лучше записать так: $P_k(x)$

[DeBill]

trunb1 в сообщении #1398223 писал(а):

Индукция по порядку формулы

А вот из вашего текста кажется, что по размерности

trunb1 в сообщении #1398223 писал(а):

Согласен, тут лучше записать так: $P_k(x)$

Но все равно нету в нем пока никаких иксов. Конкретно: это таки многочлен Тейлора? от икс? чему равен?

[trunb1]

$P_k(x)=f(a)+df(a)+...+\frac{1}{k!}d^kf(a)$

[DeBill]

И? Ну что есть $df(a)$, например? Зависит оно от икс?

[trunb1]

$df(a)=f'_{x_1}(a) \Delta x_1+f'_{x_2}(a) \Delta x_2+...+f'_{x_n} \Delta x_n$, где $\Delta x_i=x_i-a_i$

[DeBill]

trunb1
Хорошо.
Теперь надо проверить, что Тейлоровский многочлен порядка $k-1$ для $f'_{x_s}$ равен $P'_{x_s}$. Тогда и сработает предположение индукции, и получим (1) (там, кстати, слева дельта-икс - лишнее). Это дает ответ на вопрос 2) (мы пользуемся специфическим видом вашего эр).

trunb1 в сообщении #1398193 писал(а):

Из каких соображений получилось предположение индукции в пункте $(1)$ - не понятно.

Это - определение дифференциала.

[trunb1]

DeBill
Если честно, не очень понятно, зачем проверять, что $f'_{x_s}=P'_{x_s}$ и почему предположение индукции именно такое. Мы же предположили, что для $k-1$ верно равенство: $f(x)=P_{k-1}+r_{k-1}(x)$

-- 07.06.2019, 16:28 --

DeBill в сообщении #1398268 писал(а):

trunb1


Это - определение дифференциала.

$r(x)$ мы расписали по определению дифференциала, но почему $r'_{x_s}=o(|x-a|^{k-1})$?

[DeBill]

trunb1 в сообщении #1398290 писал(а):

зачем проверять, что $f'_{x_s}=P'_{x_s}$

Я написал совсем не это.

trunb1 в сообщении #1398290 писал(а):

Мы же предположили, что для $k-1$ верно равенство: $f(x)=P_{k-1}+r_{k-1}(x)$

Не так: мы предположили, что формула Тейлора справедлива до порядка $k-1$, причем для любой функции (а собираемся применить ее к производной от эф по икс-эс)

trunb1 в сообщении #1398290 писал(а):

$r(x)$ мы расписали по определению дифференциала,

Да не эр, а эф (для БАЗЫ индукции

trunb1 в сообщении #1398290 писал(а):

но почему $r'_{x_s}=o(|x-a|^{k-1})$

А это как раз из этапа "шаг индукции" (и верно это по предположению индукции! Прверьте, подставив сюда вместо эр разность эф и пэ)

[trunb1]

DeBill
По предположению индукции: формула $(k-1)$ порядка верна для функции $f'_{x_s}$, поэтому $r'_{x_s}=o(|x-a|^{k-1})$. Потом мы доказали, что $r(x)=o(|x-a|^k)$. Но почему последнее равенство доказывает теорему? Мы должны были доказать, что формула Тейлора ($k$-го порядка) верна для функции $f'_{x_s}$

[DeBill]

trunb1 в сообщении #1398322 писал(а):

Мы должны были доказать, что формула Тейлора ($k$-го порядка) верна для функции $f'_{x_s}$

НЕЕЕТ! Для $f(x)$

trunb1 в сообщении #1398322 писал(а):

Потом мы доказали, что $r(x)=o(|x-a|^k)$.

Это в точности и означает, что ф. Тейлора катого порядка верна для эф от икс.!

Как я понимаю, все Ваши проблемы связаны с непониманием обозначения $r(x)$ .
ЭТО ПРОСТО ОБОЗНАЧЕНИЕ ДЛЯ РАЗНОСТИ МЕЖДУ ФУНКЦИЕЙ И ЕЕ МНОГОЧЛЕНОМ ТЕЙЛОРА!!!!!
Более того, чтобы быть честными, и избегать путаницы, следовало бы использовать развернутое обозначение:
$f(x) -P_{k,f,a}(x) = r_{k,f,a}(x)$ - чтоб явно было видно ($k$-го порядка, для функции $f$, с центром в точке $a$, значение в точке $x$). Но честные обозначения слишком громоздки - вот их и не используют. И как результат - полная путаница.

Вот, повторите все Ваши рассуждения с честными обозначениями - и увидите все Ваши проблемы....

-- 08.06.2019, 02:19 --

Контрольный вопрос на понимание: верно ли, что $r_{k,f,a}'(x)= r_{k-1,f',a}(x)$? Если "да", то - почему? Как это проверить? (штрих - производная по $x_s$)

[trunb1]

DeBill
Нет, потому что порядки разные. Все, разобрался, спасибо!!

[DeBill]

trunb1 в сообщении #1398344 писал(а):

Нет, потому что порядки разные. Все, разобрался

Да втом то и дело, что -ДА! И именно это и используется в шаге индукции....

[ewert]

Вообще-то несколько странные вопросы. Индукция безусловно нужна, если доказывается формула Тейлора для функции одной переменной. Но если такая теорема уже есть, то на несколько переменных она распространяется безо всякой индукции тупым пересчётом -- сужением на луч и теоремой о производной сложной функции.