Вопрос о нигде не плотных множествах на прямой

[PeterSam]

Здравствуйте! Есть вопрос из области общей топологии.

В рамках этого курса я доказал такое утверждение: "Прямую $ \mathbb{R}$ с обычной топологией невозможно представить в виде объединения счётного числа нигде не плотных и замкнутых в $ \mathbb{R}$ множеств".

Но с преподаватель поставил ещё один вопрос - если ли убрать слово "замкнутых" из этого утверждения, будет ли оно истинным? В доказательстве исходного утверждения я опирался на условие замкнутости. Никак не могу понять, как быть без этого условия. Быть может, кто-то подтолкнёт меня на какие-то идеи.

P.S. Мы пользуемся такими определениями нигде не плотных множеств:
1) Замкнутое в $X$ множество $A \subset X$ называется нигде не плотным в $X$, если $A$ не содержит никакого непустого открытого в $X$ множества $U$.
2) Множество $A$ нигде не плотно в $X$, если его замыкание $\overline{A}$ нигде не плотно в $X$.

[Someone]

PeterSam в сообщении #1398046 писал(а):

Быть может, кто-то подтолкнёт меня на какие-то идеи.

Воспользоваться вторым определением.

А вообще, обычно подмножество $A$ топологического пространства $X$ называется нигде не плотным (в $X$), если каждое непустое открытое множество пространства $X$ содержит непустое открытое подмножество, не пересекающееся с $A$.
И здесь не важно, замкнуто $A$ или не замкнуто.

[Slav-27]

Эквивалентное определение: множество нигде не плотно, когда у его замыкания пустая внутренность, -- докажите.

[ИСН]

Ну если бы сказанное было возможно для каких-то множеств, то, наверное, было бы возможно и для их замыканий, которые тоже нигде не плотны?