Биномиальное распределение

[Prog_gen]

Здравствуйте , разбираюсь с темой и , читая учебник , нашел странное место в доказательстве, буду очень рад , если поможете разобраться.

Привожу выкладки из учебника: Алешкевич В.А - Молекулярная физика

Воспользуемся биномиальным распределением для определения среднего числа $\overline m$ частиц в произвольном объеме$V_1$ (вероятность попадания в объем $p$ , вероятность попадания частицы в остальной объем $q$)
Эти величины связаны соотношением $p+q = 1$
В соответствии с определением, получаем:
$\overline m = \sum\limits_{m=0}^n m\cdot P_n(m) = \sum\limits_{m=0}^n m\cdot C_n(m)p^mq^{n-m} = \sum\limits_{m=0}^n m \cdot \frac {n!} {m!(n-m)!}p^m q^{n-m} $
$ \overline m = p\frac{\partial} {\partial p} \sum\limits_{m=0}^n \frac {n!} {m!(n-m)!}p^m q^{n-m}$
И вот тут наступает вопрос , они берут частную производную по $p$ , но мне кажется это некорректным , ведь $q$ , тоже зависит от $p$ , а в этой выкладке , они не учитывают это...

[Eule_A]

Prog_gen в сообщении #1397958 писал(а):

они берут частную производную по $p$ , но мне кажется это некорректным , ведь $q$ , тоже зависит от $p$ , а в этой выкладке , они не учитывают это...

А зачем здесь эта зависимость? Идёт формальное преобразование. Если вычислить именно частную производную - получится сумма, с которой начали. Всё.

[Prog_gen]

Да получится , если предполагать , что $p$ и $q$ независимые переменные. По крайне мере такое определение частной производной. Но здесь то эти переменные зависимы.

[Eule_A]

Тем самым вопрос снят?

[Prog_gen]

Не снят , я до сих пор не могу понять , если мы возьмем производную , то мы должны учитывать ,что $q(p)$ зависит от $p$ и соответственно формула производной от произведения надо пользоваться , а в выкладке мы даже не думаем об этом.

[Eule_A]

(Оффтоп)

Я Вас сейчас на перевоспитание к математикам отправлю. В смысле в ПРР(М).

Вы видите знак частной производной? Отличаете его от полной производной? К чему Вам тогда зависимость $q(p)$?

[Prog_gen]

Да, вполне понимаю , представляю пример ситуации ,из-за которой появился этот вопрос

У меня есть выражение , к примеру : $x\cdot y$
Я хочу найти производную по $x$ , пока что не думая о конкретном виде функции $y$
$\frac {\partial} {\partial x} xy = y$
И в этот момент я говорю , а на самом деле $y = \sin(x) $ , и тогда я получаю, что $\frac {\partial} {\partial x} xy = \sin x$, что конечно же неверно. Вот собственно у меня и возникает вопрос , не получается ли в выкладке выше такого же фокуса, когда мы не думаем о конкретном виде функции $q$

[Eule_A]

Prog_gen в сообщении #1397968 писал(а):

Я хочу найти производную по $x$ , пока что не думая о конкретном виде функции $y$
$\frac {\partial} {\partial x} (xy) = y$

Я скобки только добавил. Вот это правильно независимо от того, как там устроена буква $y$. Вот если написать $\frac{d}{dx}(xy)$, то нужно разбираться, как там устроен $y$.

[Prog_gen]

Вот собственно и вопрос , в выкладке они ставят производную перед знаком суммы , то есть предполагается ,что и $q$ под производной , что тогда делать

[Eule_A]

Я предупреждал... Передаю в руки профессионалов.

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: физики в вопросе нет.

[Prog_gen]

Наверное сразу надо было сюда, и вправду количество физики минимально..

[nnosipov]

Prog_gen
Вы временно забудьте про зависимость $p$ и $q$. Считайте, что нужно вычислить сумму $\sum\limits_{m=0}^n m \cdot \frac {n!} {m!(n-m)!}p^m q^{n-m}$ в которой $p$ и $q$ --- любые. Вот мы вычислим эту сумму, получим для нее какую-то формулу, а потом вспомним, что $p+q=1$, и упростим полученную формулу. И станет нам хорошо.

[Prog_gen]

nnosipov
Собственно , я понимаю логику ,которой руководствовались ,когда делали эту выкладку , но тогда ,что делать с моим примером выше , ведь там тоже должно работать )

[ihq.pl]

Prog_gen в сообщении #1397995 писал(а):

что делать с моим примером выше , ведь там тоже должно работать

так ведь работает. В учебнике Ширяева, чтобы получить то же самое, надо преобразовывать биномиальные коэффициенты. Получается немного дольше. А здесь раз и готово

[Prog_gen]

Работает безусловно мы получаем правильный ответ.
Но в моем примере было $\frac {\partial} {\partial x} (xy) = y$, когда мы не конкретизируем функцию $y$
Но любой поймет ,что если $y = \sin(x)$ , тогда $\frac {\partial} {\partial x} (xy) = \frac {\partial} {\partial x} (x\sin(x)) \ne \sin(x) $

Собственно немного подумав ,я пришел к выводу ,что мы вводим новый оператор ,назовем его ЧП-2 ,который игнорирует переменную q(ну или ,как это лучше формализовать) ,тогда у нас есть однозначное соответствие и вроде как все обосновано , но понятно ,что это не есть ЧП в прямом смысле.
Как вы думаете ?