2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Треугольник, геометрия
Сообщение16.04.2008, 13:26 
Помогите с задачкой пожалуйста!
В треугольнике ABC проведены биссектриса AL, медиана BM и высота CK. Треугольник KLM равносторонний. Докажите, что треугольник ABC также равносторонний. :oops:

 
 
 
 
Сообщение16.04.2008, 16:20 
Тупо координаты точек ---
$$A=(-c_1,0),\quad B=(c_2,0),\quad C=(0,h),\quad K=(0,0),\quad M=(-c_1/2,h/2),\quad L=(\frac{bc_2}{b+c},\frac{hc}{b+c})$$
($a,b,c$ --- длины сторон, лежащих против углов $A,B,C$)
Дополнительные соотношения:
$$c=c_1+c_2,$$
$$b^2=c_1^2+h^2,$$
$$a^2=c_2^2+h^2,$$
А дальше ... приравнивать, исключать, раскладывать на множители...
Maple Вам в помощь!

 
 
 
 
Сообщение17.04.2008, 01:17 
Аватара пользователя
:evil:
А это верно?

 
 
 
 
Сообщение17.04.2008, 01:35 
Я не смог довести до конца (чисто по причинам "в рабочее время"). Самому интересно; ежели завтра аскер не оповестит об успехе, прийдётся доделать.
Какой-то resultant здорово разложился на множители, но из-за помех (начальники в офисе) окошко Maple пришлось скоропостижно закрыть.
Мне кажется, поместив точку К в начало коордитат, я очень сгениальничал. Завтра.

 
 
 
 
Сообщение17.04.2008, 02:09 
Аватара пользователя
:evil:
Я не просто так спрашиваю… Есть вот такая крюкозябра $a = 3.108308237486080564237131137345457659047$,
$b=0.6055027219426764152104791344570155670169$,
$c=2.542470551123832033032878281206604457494$, и, вроде, с ней всё хорошо ($m_a=h_b=\beta_c = 1$).

У меня, к сожалению, перепутаны обозначения сторон, но надеюсь, это не помешает.

 
 
 
 
Сообщение17.04.2008, 02:38 
Аватара пользователя
Видимо, в задании пропущено слово "остроугольный", поскольку для остроугольного $\triangle ABC$ утверждение верно и легко доказывается через равенство треугольников $AKL$ и $AML$.

 
 
 
 
Сообщение17.04.2008, 02:44 
Аватара пользователя
:evil:
:oops: :oops: Я не ту задачу решал: $|AL| = |BM|=|CK|$. Позор! Позор моим сединам. :oops: :oops:

В правильной формулировке верно всегда.

 
 
 
 
Сообщение17.04.2008, 02:53 
Аватара пользователя
незваный гость писал(а):
Я не ту задачу решал: $|AL| = |BM|=|CK|$.

Кстати, если треугольник остроугольный, то и в этом случае он обязан быть правильным (это задача с первой Всесоюзной олимпиады 1967г. для 9-го класса).

 
 
 
 
Сообщение17.04.2008, 03:13 
Аватара пользователя
:evil:
Да. Но существует пример хренового тупоугольного треугольника (см. выше). Именно то, что остроугольный треугольник должен быть правильным, меня и сбило с истинного пути на решение не той задачи.

 
 
 
 
Сообщение17.04.2008, 11:00 
Ничего не понимаю, что вы понаписали тут! Задача 7 класса! :oops:

 
 
 
 
Сообщение17.04.2008, 11:25 
Аватара пользователя
MtkS писал(а):
Ничего не понимаю, что вы понаписали тут! Задача 7 класса! :oops:

Пусть 7-классник возьмет циркуль и опишет окружность с центром $$M$$ радиусом $$MA$$.
На этой окружности будут лежать точки $$A, C$$ (почему?), точки $$K$$ (почему?) и $$L$$ (почему?) и т.д.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group