Вытекание воды из сосуда.

[AHTOXA82]

Давно мучает меня вопрос про давление и реактивную силу струи воды, вытекающей из сосуда.

Задача
В боковой поверхности вертикального широкого сосуда сделали небольшое отверстие площадью $s$с пробкой. Сосуд заполнили водой так, что высота уровня воды над отверстием равна $h$ (рис.).

Пробку вынимают. Считая воду идеальной жидкостью найдите: а) скорость вытекания воды из отверстия; б) силу, которую придется приложить к сосуду, чтобы его удержать в покое.

Задача довольно известная и как ее решать я знаю. Приведу решение, чтобы был предметный разговор.
а) Поскольку жидкость идеальная для нее будет выполняться закон Бернулли:

$\rho g h = \frac{\rho \upsilon^2}{2} (1)$

(здесь и далее будем под давлением понимать избыточное давление над атмосферным)
Из уравнения (1) находим скорость:

$\upsilon = \sqrt{2 g h} (2)$

Что согласуется с законом Торричелли.

б) Силу найдем из второго закона Ньютона:

$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{\Delta m \upsilon}{\Delta t} = \frac{\rho \Delta l s \upsilon}{\Delta t} = \frac{\rho\Delta t \upsilon s \upsilon}{\Delta t} = \rho s \upsilon^2 (3)$

Тут все понятно. Но подставим скорость из уравнения (2) в (3), получим:

$F = 2 \rho g h s = 2Ps (4)$

, где $P = \rho g h$ - гидростатическое давление на глубине $h$. Получается что давление слева от отверстия стало вдвое БОЛЬШЕ гидростатического. В связи с этим первый вопрос: почему давление увеличилось, ведь по закону Бернулли там где скорость потока увеличивается давление должно падать?

Идем дальше. Попробуем рассуждать немного по-другому. Пусть на жидкость рядом с отверстием действует давление $P_1$. Работа, которую совершает сила давления над маленьким кусочком жидкости массой $\Delta m$ равна увеличению кинетической энергии этого кусочка:

$P_1\Delta V = \frac{\Delta m \upsilon^2}{2} = \frac{\rho \Delta V \upsilon^2}{2} (5)$

$P_1 = \frac{\rho \upsilon^2}{2}$

Если подставить сюда скорость из уравнения (2), то получится что давление $P_1 = P, т.е. рано гидростатическому давлению, как если бы вода не вытекала вообще. Если смиритья с этим, то вроде бы все встает на свои места, но тогда реактивная сила будет равна $F = P_1s = Ps $, что неправильно. Т.е. в итоге не верно уравнение (5). И это второй вопрос: почему? Где ошибки в рассуждениях?

[pogulyat_vyshel]

1) реактивная сила это не та сила через которую определяется давление
2) в формулу работы силы давления входит градиент давления

[DimaM]

AHTOXA82 в сообщении #1397628 писал(а):

Получается что давление слева от отверстия стало вдвое БОЛЬШЕ гидростатического.

Нет, такого не получается. А вот давление на стенках в окрестности отверстия стало МЕНЬШЕ гидростатического, потому что там жидкость движется.
Ну и сечение сформировавшейся струи в общем случае не равно сечению отверстия (обычно меньше), так что правильная сила равна чему-то среднему между двумя вашими вариантами.
Эта задача разобрана, например, в книжке Бутиков, Быков, Кондратьев "Физика в примерах и задачах", задача 4 раздела IV. Также у Фейнмана есть про сужение струи.

[oleg_2]

AHTOXA82 в сообщении #1397628 писал(а):

б) Силу найдем из второго закона Ньютона:
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{\Delta m \upsilon}{\Delta t} = \frac{\rho \Delta l s \upsilon}{\Delta t} = \frac{\rho\Delta t \upsilon s \upsilon}{\Delta t} = \rho s \upsilon^2 (3)$

AHTOXA82
Тут есть сомнение. Формула $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ предназначена для равноускоренного движения, когда сила постоянна. Иначе $F(t)=\frac{dp(t)}{dt}$. Или попонятнее: импульс силы $\Delta p=\int{F(t)dt}$.
Но далее Вы написали в этой цепочке формул:
$\frac{\rho \Delta l s \upsilon}{\Delta t} = \frac{\rho\Delta t \upsilon s \upsilon}{\Delta t}$
где подставили $\Delta l s = \Delta t \upsilon s$ -объём воды массы $\Delta m$.
Вы обошлись с $\Delta l$ так, словно движение воды равномерное, а не равноускоренное. В начале цепочки формул - равноускоренное, в конце - равномерное, в этом сомнение.
Если Вы заранее знаете правильный ответ, что $F=\rho s \upsilon^2 (3)$, значит я чего-то не понимаю, и значит я написал глупость.

[DimaM]

oleg_2
Вы книжку посмотрите, там объяснено.
Но вообще это достаточно устоявшаяся запись $F=\Delta p/\Delta t$. Здесь рассматривается импульс, который уносит вытекающая вода, так что формулы все вполне корректные.

[AHTOXA82]

DimaM в сообщении #1397646 писал(а):

AHTOXA82 в сообщении #1397628 писал(а):

Получается что давление слева от отверстия стало вдвое БОЛЬШЕ гидростатического.

Нет, такого не получается. А вот давление на стенках в окрестности отверстия стало МЕНЬШЕ гидростатического, потому что там жидкость движется.

Причем здесь давление на стенках, закон Бернулли можно применить для точек жидкости. Вот я беру точку рядом с отверстием (не выше и не ниже). Формулы показывают, что давление там вдвое больше чем гидростатическое. В чем ошибка, почему это не правильно?

DimaM в сообщении #1397646 писал(а):

AHTOXA82 в сообщении #1397628 писал(а):

Получается что давление слева от отверстия стало вдвое БОЛЬШЕ гидростатического.

Ну и сечение сформировавшейся струи в общем случае не равно сечению отверстия (обычно меньше), так что правильная сила равна чему-то среднему между двумя вашими вариантами.
Эта задача разобрана, например, в книжке Бутиков, Быков, Кондратьев "Физика в примерах и задачах", задача 4 раздела IV. Также у Фейнмана есть про сужение струи.

Про Бутикова я знаю, спасибо, собственно картинка в моем первом сообщении взята именно оттуда. И там написано, что струя сужается если трубка вставлена ВНУТРЬ сосуда, а если наружу (как у меня в задаче), то сечение струи будет равно сечению трубки.

oleg_2 в сообщении #1397652 писал(а):

AHTOXA82 в сообщении #1397628 писал(а):

б) Силу найдем из второго закона Ньютона:
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{\Delta m \upsilon}{\Delta t} = \frac{\rho \Delta l s \upsilon}{\Delta t} = \frac{\rho\Delta t \upsilon s \upsilon}{\Delta t} = \rho s \upsilon^2 (3)$

AHTOXA82
Тут есть сомнение. Формула $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ предназначена для равноускоренного движения, когда сила постоянна. Иначе $F(t)=\frac{dp(t)}{dt}$. Или попонятнее: импульс силы $\Delta p=\int{F(t)dt}$.
Но далее Вы написали в этой цепочке формул:
$\frac{\rho \Delta l s \upsilon}{\Delta t} = \frac{\rho\Delta t \upsilon s \upsilon}{\Delta t}$
где подставили $\Delta l s = \Delta t \upsilon s$ -объём воды массы $\Delta m$.
Вы обошлись с $\Delta l$ так, словно движение воды равномерное, а не равноускоренное. В начале цепочки формул - равноускоренное, в конце - равномерное, в этом сомнение.
Если Вы заранее знаете правильный ответ, что $F=\rho s \upsilon^2 (3)$, значит я чего-то не понимаю, и значит я написал глупость.

Вот это, кстати, тоже очень интересный вопрос, меня он тоже мучает. Исходя из опыта решения задач, могу заметить, что всегда во всех учебниках/задачниках приводится то решение, которое было написано у меня в первом посте. Т.е. сила, действующая на маленький кусочек жидкости равна $\rho s \upsilon^2 $. Но ведь то что говорит oleg_2, это же здравая мысль. На кусочек воды массой $\Delta m$ действует постоянная сила, а значит он движется равноускоренно и применять формулу $\Delta l = \upsilon \Delta t$ нельзя. Правильно написать $\Delta l = \frac{\upsilon \Delta t}{2}$ и тогда сила будет равна: $\frac{\rho s \upsilon^2}{2} $.

Больше того, можно даже предположить, что этот результат не противоречит правильному ответу.
Когда в сосуд налита вода, она действует на пробку с силой $ F_0 = \rho g h s = P s$. На левой стороне сосуда напротив отверстия можно выделить участок такой же площади, что и отверстие, на который вода будет действовать с такой же силой. Когда мы убираем пробку, сила, действующая на правую стенку сосуда исчезает, а на левую остается, так появляется "статическая" сила $ F_0$. Теперь учтем, что из-за того, что вода из сосуда выливается, на нее действует сила, рассчитанная абзацем выше. Назовем ее "динамической". Она равна $\frac{\rho s \upsilon^2}{2} = \rho g h s= F_0 $. С этой силой вода выталкивает маленький кусочек массы $\Delta m$. По третьему закону Ньютона этот кусочек действует на воду в сосуде с такой же силой. Таким образом получается что сила, которую необходимо приложить к сосуду равна:$ F = F_0 + F_0 = 2F_0$, что согласуется с ответом.

Какое-то время я так для себя этот процесс и объяснял. Но мне кажется все это притянутым за уши.

-- 04.06.2019, 20:09 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1397634 писал(а):

1) реактивная сила это не та сила через которую определяется давление

Что Вы имеете ввиду? Что если площадка, на которую оказывается давление, движется, то понятие давления не применимо?

pogulyat_vyshel в сообщении #1397634 писал(а):

2) в формулу работы силы давления входит градиент давления

Т.е. должно быть так: $A = \int\limits_{}^{} P(V) d V$, я правильно понимаю? Но ведь за время вытекания маленького кусочка жидкости из сосуда изменением давления можно пренебречь и тогда получается форму как у меня.

[pogulyat_vyshel]

AHTOXA82 в сообщении #1397746 писал(а):

Что Вы имеете ввиду?

я имею ввиду, что реактивная сила это эффект, который возникает в системах переменного состава, а давление определяется по с помощью площадки, ограничивающей часть индивидуального объема

AHTOXA82 в сообщении #1397746 писал(а):

Т.е. должно быть так:

Должно быть так: Если $D$ -- индивидуальный объем идеальной жидкости, то поверхностная сила, которая на него действует, определяется формулой

$$F^i=-\int_{\partial D} pg^{ij}n_jdS=-\int_{D}g^{ij}\nabla_j pdV,$$

где $n_i$ -- компоненты вектора единичной внешней нормали к поверхности $\partial D$
Соответственно, если элементарный индивидуальный объем $dV$ жидкости сместился на вектор $d\boldsymbol r$ то работа сил равна
$ -g^{ij}\nabla_j pdVdr_i$

[AHTOXA82]

pogulyat_vyshel в сообщении #1397764 писал(а):

AHTOXA82 в сообщении #1397746 писал(а):

Что Вы имеете ввиду?

я имею ввиду, что реактивная сила это эффект, который возникает в системах переменного состава, а давление определяется по с помощью площадки, ограничивающей часть индивидуального объема

AHTOXA82 в сообщении #1397746 писал(а):

Т.е. должно быть так:

Должно быть так: Если $D$ -- индивидуальный объем идеальной жидкости, то поверхностная сила, которая на него действует, определяется формулой

$$F^i=-\int_{\partial D} pg^{ij}n_jdS=-\int_{D}g^{ij}\nabla_j pdV,$$

где $n_i$ -- компоненты вектора единичной внешней нормали к поверхности $\partial D$
Соответственно, если элементарный индивидуальный объем $dV$ жидкости сместился на вектор $d\boldsymbol r$ то работа сил равна
$ -g^{ij}\nabla_j pdVdr_i$

А как-нибудь без сложных понятий и градиентов можете объяснить что не так в моей формуле?

[DimaM]

AHTOXA82 в сообщении #1397746 писал(а):

Формулы показывают, что давление там вдвое больше чем гидростатическое. В чем ошибка, почему это не правильно?

Нет, формулы не показывают, что давление вдвое больше. Формулы показывают величину силы.
Если эту силу рассматривать как разницу давления на противоположные стенки, необходимо учесть не только площадь отверстия, но и прилегающие к нему стенки - там жидкость движется, поэтому давление понижено по сравнению с гидростатическим, то есть там тоже есть сила. Все это написано в Бутикове, прочитайте внимательно.

[pogulyat_vyshel]

AHTOXA82 в сообщении #1397772 писал(а):

А как-нибудь без сложных понятий и градиентов можете объяснить что не так в моей формуле?

Ну, ведь ,простые рассуждения вас уже привели к странным выводам, не так ли?

[AHTOXA82]

DimaM в сообщении #1397826 писал(а):

AHTOXA82 в сообщении #1397746 писал(а):

Формулы показывают, что давление там вдвое больше чем гидростатическое. В чем ошибка, почему это не правильно?

Нет, формулы не показывают, что давление вдвое больше. Формулы показывают величину силы.

Т.е. если мы напишем:
$P_1 = \frac{F}{s}$
, где $P_1$ - давление в точке у отверстия, а $F$ - сила, действующая на вытекающую жидкость, то эта формула будет не верна? Почему? А можно как-нибудь найти давление в этой точке?

DimaM в сообщении #1397826 писал(а):

AHTOXA82 в сообщении #1397746 писал(а):

Формулы показывают, что давление там вдвое больше чем гидростатическое. В чем ошибка, почему это не правильно?

Если эту силу рассматривать как разницу давления на противоположные стенки, необходимо учесть не только площадь отверстия, но и прилегающие к нему стенки - там жидкость движется, поэтому давление понижено по сравнению с гидростатическим, то есть там тоже есть сила. Все это написано в Бутикове, прочитайте внимательно.

Я понимаю механизм явления, понимаю почему сила не равна гидростатической, мне нужно понять, где в формулах ошибка.

[DimaM]

AHTOXA82 в сообщении #1398173 писал(а):

Т.е. если мы напишем:
$P_1 = \frac{F}{s}$
, где $P_1$ - давление в точке у отверстия, а $F$ - сила, действующая на вытекающую жидкость, то эта формула будет не верна? Почему?

Неверна. Потому как сила равна $\int Pd{\bf S}$, и давление в разных местах разное.

AHTOXA82 в сообщении #1398173 писал(а):

мне нужно понять, где в формулах ошибка

В каких именно формулах? Вы их написали довольно много.

[AHTOXA82]

DimaM в сообщении #1398224 писал(а):

AHTOXA82 в сообщении #1398173 писал(а):

Т.е. если мы напишем:
$P_1 = \frac{F}{s}$
, где $P_1$ - давление в точке у отверстия, а $F$ - сила, действующая на вытекающую жидкость, то эта формула будет не верна? Почему?

Неверна. Потому как сила равна $\int Pd{\bf S}$, и давление в разных местах разное.

Т.е. в пределах площади отверстия давление разное, я правильно понимаю Вашу мысль? А если мы будем рассчитывать среднее давление по этой формуле, тогда ее можно применять? А если устремить площадь отверстия к нулю, ее можно применять?

DimaM в сообщении #1398224 писал(а):

AHTOXA82 в сообщении #1398173 писал(а):

мне нужно понять, где в формулах ошибка

В каких именно формулах? Вы их написали довольно много.

В первом сообщении формулы (4) и (5).

[DimaM]

AHTOXA82 в сообщении #1398351 писал(а):

Т.е. в пределах площади отверстия давление разное, я правильно понимаю Вашу мысль?

Не в пределах площади отверстия, а на стенках вблизи отверстия. Жидкость там движется - давление меньше гидростатического. У Бутикова написано, еще раз повторю.

AHTOXA82 в сообщении #1398351 писал(а):

В первом сообщении формулы (4) и (5).

Формула (4) верная, вывод после нее некорректный. Формула (5) неверна, закон Бернулли записывается по-другому.

[VASILISK11]

DimaM в сообщении #1397646 писал(а):

AHTOXA82 в сообщении #1397628 писал(а):

Получается что давление слева от отверстия стало вдвое БОЛЬШЕ гидростатического.

Нет, такого не получается. А вот давление на стенках в окрестности отверстия стало МЕНЬШЕ гидростатического, потому что там жидкость движется.
Ну и сечение сформировавшейся струи в общем случае не равно сечению отверстия (обычно меньше), так что правильная сила равна чему-то среднему между двумя вашими вариантами.
Эта задача разобрана, например, в книжке Бутиков, Быков, Кондратьев "Физика в примерах и задачах", задача 4 раздела IV. Также у Фейнмана есть про сужение струи.

А разве в идеальной жидкости, при смачивании стенок сосуда и трубки, может быть сужение струи? Ведь, в таком случае, жидкость не может оторваться от поверхности, даже при отрицательном давлении. Тогда и парадокс сияет во всей красе, особенно, когда трубка, внутри сосуда, загнута на $180$ градусов.