Уравнение в натуральных и рациональных числах

[dmd]

Для уравнения

$\dfrac{\sqrt{g m-1}-\sqrt{m-1}}{g+1}=f$

где $f,g$ - натуральные больше единицы, $m$ - положительное рациональное нецелое,

найдите минимальную тройку чисел $(f,g,m)$.

[Someone]

Ну, мне сразу пришла в голову подстановка $\sqrt{m-1}=t$, где $t>0$ (так как $m$ не целое и больше $1$), откуда $m=t^2+1$. Умножая уравнение на $g+1$ и подставляя $m$, получим

$$\sqrt{g(t^2+1)-1}=t+f(g+1).$$

Правая часть здесь заведомо положительная, поэтому возведение в квадрат даёт равносильное уравнение

$$(g-1)t^2-2f(g+1)t+g-1-f^2(g+1)^2=0.$$

Свободный член этого квадратного (относительно $t$) уравнения отрицателен, поэтому у него один положительный и один отрицательный корень.
Дискриминант этого уравнения равен

$$D=4(f^2g(g+1)^2-(g-1)^2),$$

а положительный корень равен

$$t=\frac{f(g+1)+\sqrt{f^2g(g+1)^2-(g-1)^2}}{g-1}.$$

Далее применяем грубую силу: перебираем все пары целых $f$ и $g$ в промежутках $2\leqslant f\leqslant 1000$ и $2\leqslant g\leqslant 1000$ и находим два случая, когда дискриминант оказывается точным квадратом: $f=4$, $g=73$, $D=2\,528$, $t=\frac{353}9$, $m=\frac{124\,690}{81}$ и $f=9$, $g=145$, $D=15\,822$, $t=119$, $m=14\,162$. Поскольку по условию число $m$ не должно быть целым, получаем решение

$$f=4,g=73,m=\frac{124\,690}{81}.$$

Наименьшее оно или нет, неизвестно, поскольку, во-первых, критерии "наименьшести" не указаны, а во-вторых, о других решениях ничего неизвестно.
Вероятно, автор имел в виду какой-нибудь хитрый метод, но я, к сожалению, хитрых методов не знаю.

[dmd]

Someone
Верно!
Для меня интересным в уравнении оказалось то, что $f$ и $m$ не независимы, потому что в форме дискриминанта прослеживается Пелля уравнение, решения которого зависят только от $g$ .
Последовательность $g$, при которых исходное уравнение имеет решения: 73,145,313,337,409,457,481,577,...
Если не ошибаюсь, то следующее $f>4$ при зафиксированном $g=73$ - перебором уже не достать, нужно применять технику решения уравнения Пелля.
Первоисточник с несколько другими уравнениями - отсюда.

[nnosipov]

Сначала можно доказать, что $g$ не может быть точным квадратом. Затем --- решать уравнение

$$f^2g(g+1)^2-(g-1)^2=x^2$$

как уравнение Пелля относительно пары $(x,f)$. Наименьшее целое значение $g>1$, при котором это уравнение разрешимо, есть $g=73$.