Оценка дисперсии суммы ограниченных случайных величин

[vicvolf]

Someone в сообщении #1397985 писал(а):

vicvolf в сообщении #1397845 писал(а):

Тогда справедлива следующая оценка для дисперсии: $|D[G_n]| \leq 2C^2n$.

Что касается зависимых случайных величин, то для них такая оценка неверна. Рассмотрите крайний случай: $g_2=g_3=\ldots=g_n$. И пусть они принимают значения $\pm C$ с равными вероятностями.

Сначала определим $M[G_n]$ для Вашего примера. Для зависимых, как и независимых случайных величин справедлива формула: $M[G_n]=M[\sum_{i=1}^n {g_i}]=\sum_{i=1}^n {M[g_i]}$. (1)

Будем считать, что $g_1=C$, а для остальных случайных величин $g_2=...=g_n$ вероятности $p(C)=p(-C)=1/2$, тогда $M[g_1]=C,M[g_2]=...=M[g_n]=C/2-C/2=0$, поэтому на основании (1): $M[G_n]=C+(n-1)0=C$. (2)

Теперь рассчитаем на основании (1): $M[G_n^2]=\sum_{i=1}^n {M[g_i^2]}=C^2+(n-1)(C^2/2+C^2/2)=nC^2$. (3)

Подставим (2), (3) в формулу: $D[G_n]=M[G_n^2]-(M[G_n])^2=nC^2-C^2=(n-1)C^2<2C^2n$.

[Someone]

vicvolf в сообщении #1398062 писал(а):

$M[G_n^2]=\sum_{i=1}^n {M[g_i^2]}$.

Враньё. Каким образом у Вас квадрат суммы превратился в сумму квадратов?

И для упрощения вычислений могли бы взять $g_1=0$.

[vicvolf]

Someone Спасибо! В примере получается $(n^2-1)C^2$. Похоже я напутал с постановкой задачи. Надо подумать

[ozheredov]

vicvolf в сообщении #1398120 писал(а):

получается $(n^2-1)C^2$

Наконец то. Вот что значит в тему пришёл Someone!

[vicvolf]

ozheredov в сообщении #1397623 писал(а):

Предположим, что все СВ равны друг другу.

Извините, Вы видно не очень внимательно прочитали задачу. По условию $g_1$ постоянная, следовательно, если все СВ равны: $g_1=...=g_n$, то все СВ постоянные, тогда сумма величин также постоянная и дисперсия ее равна 0.

[Someone]

vicvolf в сообщении #1398120 писал(а):

В примере получается $(n^2-1)C^2$.

Вообще-то, должно было получиться $(n-1)^2C^2$.

[vicvolf]

Someone в сообщении #1398235 писал(а):

должно было получиться $(n-1)^2C^2$.

Это уже не так важно. Главное, что $O(n^2)$.

Постановку задачи нужно пополнить.
1. Выполняется условие: $g_1(1)=...=g_n(1),g_2(2)=...=g_n(2),...,g_{n-1}(n-1)=g_n(n-1)$.
2. Случайная величина $g_n$ принимает значение $g_n(k)$ при $1 \leq k \leq n$ с равной вероятностью $p_n(k)=1/n$.

Тогда пример будет выглядеть так:
$g_1=C$ c вер $1$;
$g_2=C$ c вер $1/2$, $g_2=-C$ c вер $1/2$;
$g_3=C$ c вер $2/3$,$g_3=-C$ c вер $1/3$;
....
Таким образом, все случайные величины не совпадают, как я писал ранее.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1398246 писал(а):

Таким образом, все случайные величины не совпадают, как я писал ранее.

Точнее четные по распределению совпадают с $g_2$, а нечетные не совпадают.

[ozheredov]

vicvolf

Ну равны друг другу, начиная со второй. В общем я как-то сразу заподозрил, что ваша теорема слишком оптимистична ))

[vicvolf]

ozheredov Я.тоже считал, что.так будет.только при независимости случайных величин. Хотел найти ошибку в выкладках.

[Otta]

vicvolf в сообщении #1397504 писал(а):

$$|B-C|=|\sum \sum_{i \not= j} ((\sum_{k=1}^n {g_i(k)g_j(k)})/n)-(\sum_{i=1}^n {(\sum_{k=1}^n {g_i(k)})/n)^2}| \leq |C^2n(n-1)-C^2n^2|=C^2n.(5)$$

[vicvolf]

Otta Да, здесь ошибка. Очевидно, что указанном в утверждении не достает условий.

Изменим условия утверждения.

Пусть в одном вероятностном пространстве существует последовательность дискретных случайных величин $g_i,(1 \leq i \leq n)$, где значения $g_i$ равны $g_i(k),(1 \leq k \leq i)$ и выполняются оценки:

$|D[g_i]| \leq C$. (1)

$M[g_ig_{i+n}]-M[g_i]M[g_{i+n}]=O(1/n)$. (2)

Определим случайную величину $G_n=\sum_{i=1}^n {g_i}$, тогда справедлива оценка $D[G_n]=O(n)$.

Доказательство

$D[\sum_{i=1}^n {g_i}]=\sum_{i=1}^n {D[g_i]}+\sum \sum_{i \not=j} {cov [g_ig_j]}$, (3)

где $cov [g_ig_j]=M[g_ig_j]-M[g_i]M[g_j]$.

На основании (1) справедлива оценка:

$\sum_{i=1}^n {D[g_i]} \leq Cn$ или $\sum_{i=1}^n {D[g_i]} =O(n)$. (4)

Обозначим $j=i+n$, где $n=1,2,...$, тогда на основании (2) получим:

$cov [g_ig_j]=M[g_ig_j]-M[g_i]M[g_j]=M[g_ig_{i+n}]-M[g_i]M[g_{i+n}]=O(1/n)$. (5)

На основании (5) получим:

$\sum \sum_{i \not=j} {cov [g_ig_j]} \leq n(n-1)O(1/n)=O(n-1)$. (6)

На основании (3), (4), (6) окончательно получим:

$D[G_n]=O(n)$ ч.т.д.

[--mS--]

vicvolf в сообщении #1399263 писал(а):

Otta Да, здесь ошибка. Очевидно, что указанном в утверждении не достает условий.

Обозначим $j=i+n$, где $n=1,2,...$, тогда на основании (2) получим:

И что бы это значило? Значение $n$ задано и фиксировано - это внешняя для суммы переменная, число слагаемых. Индексы $i$ и $j$ меняются: $(i,j)=(1,2)$, $(1,3)$, $\ldots$, $(1,n)$, $(2,1)$, $(2,3)$, $\ldots$, $(2,n)$, и т.д. и т.п.

Не говоря уже о том, что всевозможные о-большие имеют смысл лишь ввиду предельного перехода. Которого тут и близко не наблюдается.

[vicvolf]

--mS-- в сообщении #1399342 писал(а):

vicvolf в сообщении #1399263 писал(а):

Обозначим $j=i+n$, где $n=1,2,...$, тогда на основании (2) получим:

И что бы это значило? Значение $n$ задано и фиксировано - это внешняя для суммы переменная, число слагаемых. Индексы $i$ и $j$ меняются: $(i,j)=(1,2)$, $(1,3)$, $\ldots$, $(1,n)$, $(2,1)$, $(2,3)$, $\ldots$, $(2,n)$, и т.д. и т.п.

Да, это не нужно. Обойдемся без этой замены. В сумме $\sum\sum_{i \not= j} {cov[g_ig_j]}$ верхние индексы суммирования равны $n$, поэтому имеется $n(n-1)$ членов. Предположим, что каждый член этой суммы является функцией от $n$, для которого выполняется оценка $|cov[g_i,g_j]|=|M[g_ig_j]-M[g_i]M[g_j]| \leq L/n$, где $L$ - положительная постоянная или $cov[g_i,g_j]=O(1/n)$, тогда $\sum\sum_{i \not= j} {cov[g_ig_j]}=n(n-1)O(1/n)=O(n-1)$, что соответствует (6).

Цитата:

Не говоря уже о том, что всевозможные о-большие имеют смысл лишь ввиду предельного перехода. Которого тут и близко не наблюдается.

Почему же? Я хочу доказать, что асимптотическая оценка сверху для $D[\sum_{i=1}^n {g_i}]$ (при определенных условиях) равна $O(n)$. В этих случаях не обязательно писать, что при $n \to \infty$. Это уже ясно из определения o-большого.

[vicvolf]

Исправлю утверждение по последнему замечанию.

Пусть в одном вероятностном пространстве существует последовательность дискретных случайных величин $g_i,(1 \leq i \leq n)$, где значения $g_i$ равны $g_i(k),(1 \leq k \leq i)$ и выполняются оценки:

$|D[g_i]| \leq C$. (1)

$|cov[g_i,g_j]|=|M[g_ig_j]-M[g_i]M[g_j]| \leq L/n$ или $cov[g_i,g_j]=O(1/n)$, (2)

где $L$ - положительная постоянная.

Определим случайную величину $G_n=\sum_{i=1}^n {g_i}$, тогда справедлива оценка $D[G_n]=O(n)$.

Доказательство

$D[\sum_{i=1}^n {g_i}]=\sum_{i=1}^n {D[g_i]}+\sum \sum_{i \not=j} {cov [g_ig_j]}$, (3)

где $cov [g_ig_j]=M[g_ig_j]-M[g_i]M[g_j]$.

На основании (1) справедлива оценка:

$\sum_{i=1}^n {D[g_i]} \leq Cn$ или $\sum_{i=1}^n {D[g_i]} =O(n)$. (4)

На основании (2) получим:

$\sum \sum_{i \not=j} {cov [g_ig_j]} \leq n(n-1)O(1/n)=O(n-1)$. (5)

На основании (3), (4), (5) окончательно получим:

$D[G_n]=O(n)$ ч.т.д.