ДУ второго порядка

[Grig_A]

Здравствуйте!
Встретилось уравнение:
[/math]$2*y'*y''+y^2 = (y')^2$[/math]
Нет переменной (x) - поэтому замена y'=p(y) и получаем:
$2*p^2*p' + y^2 = p^2$
Теперь - однородное, p=u*y и получаем:
$\frac{2*u^2}{-2*u^3+u^2-1} = \frac{1}{y}$
Многочлен, стоящий в знаменателе, рациональных корней не имеет в связи с чем интегрирование представляется проблематичным. Возможно, существует другой путь (например, опирающийся на факт, что первое слагаемое исходного уравнения - производная от последнего слагаемого)?
Спасибо.

[bot]

На этом месте был бред - увидел и стёр.
Вроде вот это должно прокатить: $p=y'\sqrt{y}$
Очередной бред - во-первых слеш пропустил, во-вторых штрих, а в-третьих в таком случае всё проще можно.

[V.V.]

Grig_A писал(а):

Многочлен, стоящий в знаменателе, рациональных корней не имеет в связи с чем интегрирование представляется проблематичным.

Mathematica этим фактом не смущена и записывает таки ответ через корень знаменателя.

[powerZ]

Цитата:

$2*p^2*p' + y^2 = p^2$

а почему не так?
$2 \cdot p \cdot p' + y^2 = p^2$

[Grig_A]

powerZ писал(а):

Цитата:

$2*p^2*p' + y^2 = p^2$

а почему не так?
$2 \cdot p \cdot p' + y^2 = p^2$

Потому что
$p' = p*\frac{dp}{dy}$

Добавлено спустя 2 минуты:

V.V. писал(а):

Grig_A писал(а):

Многочлен, стоящий в знаменателе, рациональных корней не имеет в связи с чем интегрирование представляется проблематичным.

Mathematica этим фактом не смущена и записывает таки ответ через корень знаменателя.

Я нашел численными методами корни знаменателя - один действительный и два комплексных, но ответ нужен в символьном виде, а не в численном.

[bot]

powerZ писал(а):

а почему не так? $2 \cdot p \cdot p' + y^2 = p^2$

Потому что у Вас штрих означает производную по $x$, а надо по $y$.

bot писал(а):

... во-первых слеш пропустил, во-вторых штрих, а в-третьих в таком случае всё проще можно.

Мелькнуло и в-четвертых, но отбросил, так как полагал, что и по стандартной тропке так же просто будет. Пока из одного места в другое перемещался попробовал - что-то далеко по этой тропке идти не захотелось. Может быть и правда на один штрих забить?

$2yy'' + y^2=(y')^2$

Mathematicу этим вряд ли смутишь, но и по человечески решать можно.