Диофантово уравнение.

[TR63]

Батороев, спасибо за информацию (правда, она мне была известна; я Википедию читала и на МНР такие задачи видела; может, и здесь были, не помню).

Батороев в сообщении #1404100 писал(а):

за исключением четных чисел, не кратных $4$.

Вот, именно. Ведь в основном наблюдении( ($y^{2m+1}=x^2+2$), которое свелось к ($(8k+3)^{2m+1}=8n+3$)) у нас получается неограниченная последовательность уравнений при изменении $(m)$. Количество решений у всех без исключения, что очень важно (поэтому, при построении примера, чётные числа в моём примере я сразу отсеяла; подошла только пятёрка в качестве последней цифры, чтобы выполнялись требуемые свойства, и оставалось только провести аналитическое доказательство, чтобы двигаться дальше; с ним вышла заминка, хотя оно и тривиально ) не более одного (если доказательство этого факта отсутствует, то можно считать его гипотезой).

TR63 в сообщении #1403974 писал(а):

И осталось решить вопрос:
TR63 в сообщении #1403835

писал(а):
Вопрос: существует ли контрпример, обладающий свойствами пунктов $(1;2)$ и не обладающий свойством пункта $(3)$.

[TR63]

TR63 в сообщении #1403974 писал(а):

Теперь у нас есть два простейших примера, иллюстрирующих наблюдение, описываемое тремя свойствами, указанными выше. И осталось решить вопрос:

Всё-таки, пример один. Поэтому

TR63 в сообщении #1403835 писал(а):

Вопрос: существует ли контрпример, обладающий свойствами пунктов $(1;2)$ и не обладающий свойством пункта $(3)$.

снимается. Прошу извинить за невнимательность.
Но, тем не менее совпадение или несовпадение во всей области определения наборов последней цифры в левой и правой части последовательности уравнений можно использовать в качестве общего свойства. Затем ищем разделительное свойство последовательности уравнений на не пересекающиеся классы относительно этого свойства. Для задач:
1). $(8k+3)^{2m+1}=8n+3$, $(k)$-нечётное, $(n)$-чётное.
2). $y^{2n+1}-3=24k$
3). $y^2=x^2+a_n$
можно найти простое разделительное свойство. Причём в левом классе будет один элемент. Далее результат о количестве решений $K(N)$ гипотетически экстраполируем
по результату для второго элемента.
В первой задаче экстраполяция наблюдается экспериментально (интересно, аналитически она подтвердится ли); во второй и третьей, кроме того, подтверждается аналитически.
Таким образом, остаётся вопрос только по первой задаче: верно ли, что количество решений $K(N)\le1$ для любого не отрицательного натурального $(m)$.