Площадь тела вращения

[trunb1]

$x(t)=t+sint \;\;\;\; y(t)=1-cost$. Найти $S$ вращения вокруг оси симметрии, если $t \in [0;2\pi]$. Я думаю, что нужно сдвинуть график вдоль $Ox$ на $\pi$ единиц влево, а затем воспользоваться формулой $S=2\pi\int_0^{\pi}|x(t)|\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}$. Но не совсем понятно, как сделать сдвиг функции, заданной параметрически.

[manul91]

trunb1 в сообщении #1396644 писал(а):

Я думаю, что нужно сдвинуть график вдоль $Ox$ на $\pi$ единиц влево

"Ось симметрии" не указана? Вокруг какой оси симметрии "вращается" график {$x(t),y(t)$} чтобы образовать площадь тела вращения?

[trunb1]

manul91
Не указано, но я думаю, что это прямая $x=\pi$

[Pphantom]

У вас есть параметрически заданный график горизонтальной прямой: $y=5$. Что надо сделать, чтобы прямая сдвинулась на $3$ единицы вверх вдоль оси ординат?

[trunb1]

Pphantom
$y'=y+3=8$

-- 30.05.2019, 17:57 --

Pphantom
По оси $Ox$, как я понимаю, сдвигать сложнее.

[Pphantom]

trunb1 в сообщении #1396671 писал(а):

$y'=y+3=8$

Правильно.

trunb1 в сообщении #1396671 писал(а):

По оси $Ox$, как я понимаю, сдвигать сложнее.

Думаете? Тогда сдвиньте вдоль оси абсцисс на 3 единицы прямую, заданную параметрически в виде $x=5$.

[trunb1]

Pphantom
Что-то не сходится с ответом. $2\pi\int_{\pi}^{2\pi}|t+\sin(t)-\pi|\sqrt{1-cost}dt=-4\pi\int_{\pi}^{2\pi}(\pi-t-\sin(t))\sin(\frac{t}{2})dt$

[manul91]

trunb1 в сообщении #1396663 писал(а):

manul91
Не указано, но я думаю, что это прямая $x=\pi$

Это существенно - я не понимаю как без знания оси вращения можно вообще решать задачу.

Простейший пример - возьмем линейный график $x(t)=t, y(t)=10t$ (или если выразить как зависимость $y$ от $x$, то $y(x)=10x$); для $t$ с нуля до $8$.
Если вращать этот отрезок вокруг ординаты $x=0$ то получится "острый-тесный" конус с одной площади; если его вращать вокруг абсциссы $y=0$ то "тупой-сплюснутый" конус с другой площади; а если ось вращения совпадает с тем же самым отрезком $y(x)=10x$, то площадь фигуры вращения выродится в ноль.

Если нет оси вращения (не указана) - то задание только $x(t),y(t)$ в трехмерном пространстве $x,y,z$ - задает бесконечную цилиндрическую поверхность (все образующие которой параллельны оси z).

[Pphantom]

trunb1 в сообщении #1396684 писал(а):

Что-то не сходится с ответом.

Даже в предположении, что с осью вы разобрались (хотя я согласен с manul91), каким образом из этого:

trunb1 в сообщении #1396644 писал(а):

$S=2\pi\int_0^{\pi}|x(t)|\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}$.

следует вот это:

trunb1 в сообщении #1396684 писал(а):

$2\pi\int_{\pi}^{2\pi}|t+\sin(t)-\pi|\sqrt{1-cost}dt=-4\pi\int_{\pi}^{2\pi}(\pi-t-\sin(t))\sin(\frac{t}{2})dt$

?

[TOTAL]

trunb1 в сообщении #1396684 писал(а):

Pphantom
Что-то не сходится с ответом. $2\pi\int_{\pi}^{2\pi}|t+\sin(t)-\pi|\sqrt{1-cost}dt=-4\pi\int_{\pi}^{2\pi}(\pi-t-\sin(t))\sin(\frac{t}{2})dt$

$2\pi\int_{0}^{\pi}|t+\sin(t)-\pi|\sqrt{2+2cost}dt$
Ось симметрии $x=\pi$, вокруг неё и крутим.

[trunb1]

TOTAL
Но если $x=\pi$, то $t=2\pi$.

[TOTAL]

trunb1 в сообщении #1396878 писал(а):

Но если $x=\pi$, то $t=2\pi$.

Для оси симметрии $x=\pi$ интегрируем по любой половинке отрезка $[0;2\pi]$

[manul91]

trunb1 в сообщении #1396878 писал(а):

TOTAL
Но если $x=\pi$, то $t=2\pi$.

Это неверно - проверьте подстановкой $t=2\pi$ в $x=t + sint$, что получаем для $x$?

[trunb1]

manul91
Я подставляю в $x=t+sint-\pi$