Кинематика

[pogulyat_vyshel]

Диски радиусов $R, r,\quad R>r$ могут свободно вращаться вокруг своих неподвижных центров $A$ и $C$, $|AC|=b$. На краях дисков имеются шарниры $B$ и $D$. Через эти шарниры с дисками соединена жесткая ферма $BFGD$. В данный момент времени система находится в положении, показанном на рисунке; угловая скорость и угловое ускорение левого диска равны соответственно $\omega,\varepsilon$. Найти угловую скорость и угловое ускорение фермы. (М.Н.Кирсанов)

[Munin]

Лучше вращать правый диск. Если левый - то у вас что-то сломается.

[dovlato]

При вращении бОльшего колеса возможен поворот меньшего колеса как в ту же, так и в обратную сторону.

[EUgeneUS]

Munin в сообщении #1396423 писал(а):

Лучше вращать правый диск. Если левый - то у вас что-то сломается.

Но не "в данный момент времени", о котором вопрос задачи.

dovlato в сообщении #1396467 писал(а):

При вращении бОльшего колеса возможен поворот меньшего колеса как в ту же, так и в обратную сторону.

Это вряд ли.

Что никак не могу понять, то к чему тут сложная ферма, почему не балка $BD$?

[rascas]

pogulyat_vyshel в сообщении #1396372 писал(а):

Найти угловую скорость и угловое ускорение фермы.

$\omega_{12}= \frac{\omega}{b-R}\Bigl(-R \pm \sqrt{\frac{Rrb}{b+r-R}}\Bigr)$

$\varepsilon_{12}= \frac{\varepsilon}{b-R}\Bigl(-R \pm \sqrt{\frac{Rrb}{b+r-R}}\Bigr)$

[EUgeneUS]

Уравнение голономной связи у меня получилось такое:

$\cos (\varphi_1 - \varphi_2) + \frac{b}{r} \cos \varphi_1 - \frac{b}{R} \cos \varphi_2 = 1 + \frac{b}{r} - \frac{b}{R}$

UPD: поправил
UPD2: и еще раз поправил

$\varphi_1$ - угол поворота большого круга
$\varphi_2$ - угол поворота малого круга

Откуда получается связь между $\omega_1(0,0)$ и $\omega_2$(0,0),
а так же между $\varepsilon_1(0,0)$ и $\varepsilon_2$(0,0).

Но как из известных для кругов угловых скоростей и ускорений перейти к угловой скорости и ускорению фермы, что-то не соображу.

[EUgeneUS]

EUgeneUS в сообщении #1396540 писал(а):

что-то не соображу.

В начальный момент времени должно быть справедливо:
$\omega_{12} = \frac{\omega_2 r - \omega R}{b+r-R}$
угловая скорость большого диска в начальный момент: $\omega_1 = \omega$

[Pphantom]

Флуд от Igrickiy(senior) удален. При написании комментариев стоит все же учитывать раздел, в котором размещена тема, и уровень обсуждения.

[EUgeneUS]

EUgeneUS в сообщении #1396540 писал(а):

Откуда получается связь между $\omega_1(0,0)$ и $\omega_2$(0,0),
а так же между $\varepsilon_1(0,0)$ и $\varepsilon_2$(0,0).

тут интересно, что первое дифференцирование по времени дает неопределенность ноль на ноль, а из второго получаем квадратное уравнение на $\omega_2$:

$\omega_2^2 (1 - \frac{b}{R}) - 2 \omega\omega_2 + \omega^2 (1+\frac{b}{r})$

Выражение для $\omega_{12}$ у меня получилось гораздо более громоздким, чем у rascas, но может оно к нему сводится, или где-то опять запутался в знаках.

А вот можно ли так запросто (как rascas) поступать c $\varepsilon_{12}$ не уверен.

[ihq.pl]

Любопытная конструкция. Если исходить из того, что нормальные ускорения точек $B$ и $D$ направлены к центрам соответствующих дисков, то центр вращения фермы должен находится на линии $BD$ слева от точки $B$. То есть, скорость точки $D$ должна быть выше чем скорость точки $B$. Сразу это в глаза не бросается.

[pogulyat_vyshel]

Классная задачка! Всегда завидовал людям, которые умеют придумывать такие штуки.

И так первое, что надо сделать это убедиться в том, что задача корректна т.е. что движение в окрестности нарисованного положения вообще возможно.
Введем систему координат $Axy$ так, что ось $x$ проходит через точку $C$. Положения точек $B$ и $D$ на окружностях будем задавать углами $\varphi$ и $\psi$ соответственно, так, что

$$\boldsymbol {AB}=R(\cos\varphi \boldsymbol e_x+\sin\varphi\boldsymbol e_y);\quad \boldsymbol {AD}=(b+r\cos\psi)\boldsymbol e_x+r\sin\psi\boldsymbol e_y.$$

Отметим, что в положении, указанном на рисунке ($\varphi=\psi=0$) будет $\boldsymbol {BD}=\rho\boldsymbol e_x,\quad \rho=b+r-R>0$.
Введем функцию $f(\varphi,\psi)=|\boldsymbol {BD}|^2$. Конфигурационное пространство системы это множество точек на двумерном торе $M=\{(\varphi,\psi)\in\mathbb{T}^2\mid f(\varphi,\psi)=\rho^2\}$. Гладким многообразием это пространство не является, а чем является при различных значениях параметров -- отдельный интересный вопрос. Нас этот вопрос интересует только в окрестности точки $\varphi=\psi=0$.
Легко посчитать, что точка $\varphi=\psi=0$ является невырожденной критеческой точкой функции $f$ типа "седло". Поэтому множество $M$ в окрестности этой точки представляет собой объединение дух гладких кривых.
Что бы решать задачу дальше нам придется указать по какой из этих кривых происходит движение.

Теперь остается продифференцировать несколько раз по времени уравнение $ f(\varphi,\psi)=\rho^2$ и найти
$\dot\psi,\ddot\psi$ при $\varphi=\psi=0$.

[EUgeneUS]

pogulyat_vyshel
скажите, пожалуйста, сколько раз нужно дифференцировать, чтобы получить $\ddot{\psi}$, у меня с этим некоторые вопросы возникли.

И еще должны возникнуть некоторые "интересности" с $\ddot{\psi}$, если $\omega = 0$, $\varepsilon \ne 0$.

[ihq.pl]

pogulyat_vyshel в сообщении #1396656 писал(а):

Теперь остается продифференцировать несколько раз по времени уравнение $ f(\varphi,\psi)=\rho^2$ и найти
$\dot\psi,\ddot\psi$ при $\varphi=\psi=0$.

здесь что, надо получить ответ для положения, показанного на рисунке? Скорее всего, нет? Иначе было бы слишком просто.

[rascas]

ihq.pl в сообщении #1396829 писал(а):

надо получить ответ для положения, показанного на рисунке?

Да, необходимо определить угловую скорость и угловое ускорение фермы только для положения, показанного на рисунке. В этой задаче, для других положений механизма получать эти параметры не надо.

[pogulyat_vyshel]

1) Формулы rascas вызывают у меня сомнения
особенно в части ускорений, впрочем я до ответа не доводил и это впечатления, основанные на вычислении углового ускорения малого диска в Maple
2) если $\omega\ne 0$ то для решения задачи нужно считать

$$\frac{d^2 f}{dt^2},\quad \frac{d^3 f}{dt^3}$$

3) если $\omega=0$ то и угловая скорость малого диска тоже равна нулю и для нахождения ускорения малого диска надо считать $\frac{d^4 f}{dt^4}$.