Ряды

[Diom]

Простите за наверное очень глупый вопрос, но не хочу в нем ошибиться:
1) имеется сходящийся знакопостоянный ряд a_1, a_2 .... Можно ли утверждать:
\sum_{i=1}^\infty ka_i =k \sum_{i=1}^\infty a_i.
2) имеется расходящийся знакопостоянный ряд a_1, a_2 .... Можно ли утверждать:
\lim_{k\rightarrow 0} \sum_{i=1}^\infty ka_i =0

[RIP]

1) Да. Знакопостоянность здесь вообще не по делу - верно для любого сходящегося ряда.
2) Нет. Выражение под знаком предела вообще не определено при $k\ne0$.

[Brukvalub]

Первое - верно, второе - бессмысленно.

[Diom]

Цитата:

1) Да. Знакопостоянность здесь вообще не по делу - верно для любого сходящегося ряда.

Даже для условно сходящегося ряда?

[RIP]

Diom писал(а):

Цитата:

1) Да. Знакопостоянность здесь вообще не по делу - верно для любого сходящегося ряда.

Даже для условно сходящегося ряда?

А почему нет? Это же очевидно. Тривиально проверяется по определению суммы ряда.

[Azog]

2. Возьмите расходящийся ряд $\Summa n^2$ и домножьте на $1/n$
1. сказали уже)

[Бодигрим]

Azog писал(а):

2. Возьмите расходящийся ряд $\sum n^2$ и домножьте на $1/n$

Поправьте в исходнике \Summa на \sum.

Я, кстати, не совсем понял, что вы хотели сказать этим замечанием. У автора темы $k$ - некоторая константа, не зависящая от $n$.