Поток градиента вблизи экстремума

[tiptoe]

Добрый день!
Пусть дана такая функция в трехмерном пространстве, что её градиент непрерывен. Похоже, что вблизи точки экстремума можно выбрать такую замкнутую поверхность (что эта точка находится внутри области, ограниченной этой поверхностью), что поток градиента через эту поверхность не равен нулю.
Пытаясь доказать этот факт, я провожу через данную точку различные прямые, где я могу свести данную функцию к функции одной переменной с помощью параметризации. И тогда на этой прямой существует окрестность точки, где производные функции ''слева'' и ''справа'' от этой точки будут разных знаков. Хотелось бы проводить все возможные прямые, выбрать наименьшую такую окрестность и получить сферу, через которую поток градиента не равен нулю. Сталкиваюсь со случаем, когда инфимум множества $\varepsilon$ для окрестностей вида $x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon$ равен нулю.
Не знаю, как подступиться к данной проблеме.
Заранее благодарю за помощь!

[Pphantom]

Вспомните утверждение про экстремум гармонической функции внутри области.

[tiptoe]

Я не могу использовать данный факт, так как моя задача служит для доказательства частного случая этого утверждения. Прошу прощения за некорректность вопроса.

[alcoholist]

tiptoe в сообщении #1395381 писал(а):

для доказательства частного случая

Может быть, залезть в учебник и переделать доказательство именно для нужного случая?

[tiptoe]

Так как мы еще не проходили теоремы о гармонических функциях, я рассчитывал на то, что существует более легкий способ доказать необходимое утверждение.

[Pphantom]

Скорее нет. Собственно, и доказывать вы пытаетесь не частный случай, а утверждение, противоположное обратному, т.е. эквивалентное.

[Munin]

tiptoe в сообщении #1395370 писал(а):

Сталкиваюсь со случаем, когда инфимум множества $\varepsilon$ для окрестностей вида $x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon$ равен нулю.

А может быть, этот случай поможет построить контрпример?

Например, возьмём функцию, которая в любом направлении будет $(x/k)^{-1}\sin(x/k).$ Но $k\to 0$ по некоторым направлениям, причём можно даже "нехорошим способом". Например, пусть $\theta$ - полярный угол сферической системы координат (угол с осью $z$), и $k=\theta\sin(1/\theta).$ Ну или просто $k=\theta^2.$ Как вы их проанализируете?

[svv]

tiptoe, в качестве поверхности, окружающей точку экстремума, возьмите поверхность уровня функции. Скажем, если $\mathbf x_0$ — точка максимума, возьмите поверхность $u(\mathbf x)=u(\mathbf x_0)-\varepsilon$, где $\varepsilon>0$ достаточно мало. Вспомните, что вектор градиента в точке ортогонален проходящей через эту точку поверхности уровня. Дополнительные оговорки, обеспечивающие ненулевой поток, вполне щадящие.

Может быть, лучше использовать интегральную теорему
$\int\limits_{\partial \Omega}\operatorname{grad}u\cdot d\mathbf S=\int\limits_{\Omega}\Delta u\;dV$
Или вопрос был про особые случаи, мешающие доказательству?

[tiptoe]

Спасибо всем за ответы!

svv, вопрос, скорее, об оговорках, обеспечивающих ненулевой поток. Понятно, что в каком-нибудь тривиальном случае я возьму поверхность уровня (где-нибудь вблизи точки экстремума) и получу на этой поверхности градиент, направленный ''внутрь поверхности'' во всех точках, или наоборот. Вопрос в том, всегда ли можно найти такую поверхность, что поток градиента через нее будет положителен/отрицателен (при условии непрерывности градиента).

Munin, я правильно понял, что мы рассматриваем прямые, проходящие через точку экстремума (которая здесь будет ''нулем'' на оси OX) и задаем на них данную функцию в зависимости от угла $\theta$?

[Munin]

tiptoe в сообщении #1395511 писал(а):

я правильно понял, что мы рассматриваем прямые, проходящие через точку экстремума (которая здесь будет ''нулем'' на оси OX) и задаем на них данную функцию в зависимости от угла $\theta$?

Да.
Ну, после других советов мой, может быть, уже не пригодится. Просто как общий принцип: если что-то не получается доказать, попробуйте построить контрпример. Там, где не будет получаться доделать контрпример - там важная часть доказательства.