Солнечный парус. ФЛФ. Задача 34-10.

[Uchitel'_istorii]

Условие английское:

PNG. писал(а):

In one proposed means of space propulsion, a thin sheet of highly reflecting plastic film will be used as a radiation pressure "sail." A plane sheet $100$ m square is available, and the mass of the space ship is $10^3$ kg. If the space ship initially travels in a circular orbit of $1$ A.U. radius about the sun, describe how to use the "sail" to increase the mean radius of the orbit, and find at what rate the orbit radius will grow.

Перевод :

Google Translate писал(а):

В одном из предложенных средств космического движения в качестве "паруса" радиационного давления будет использоваться тонкий лист высокоотражающей пластиковой пленки. Доступен плоский лист площадью $100$ м, а масса космического корабля составляет $10^3$ кг. Если космический корабль первоначально движется по круговой орбите $1$ А.У. радиус вокруг Солнца, опишите, как использовать «парус» для увеличения среднего радиуса орбиты, и найдите, с какой скоростью будет расти радиус орбиты.

Численные методы показалиxls, что при нулевом угле $\alpha$ между нормалью паруса и радиус-вектором почти нет никаких изменений в траектории. Т.к. поглощенная мощность пропорциональна $\cos(\alpha)$, а тангенциальная составляющая отраженного света пропорциональна $\sin(2\alpha)$, максимальная тангенциальная сила получается при угле $\alpha=\arctg(1/\sqrt{2}):$
$F = \tfrac{IA\cos(\alpha)}{c}\sin(2\alpha)$,
где $I $ - интенсивность излучения на расстоянии $R$;
$A$ - площадь паруса.

$Fv = \tfrac{d}{dt}E = \tfrac{d}{dt}\tfrac{-GMm}{2R}= \tfrac{GMm}{2R^2}\tfrac{dR}{dt}$,
$E$ -- энергия тела , на круговой орбите.

$\tfrac{dR}{dt}= \tfrac{2FvR^2}{GMm} = \tfrac{2FR^{1,5}}{\sqrt{GM}m}$.


$\tfrac{dR}{dt}= \tfrac{2 IA\cos(\alpha)\sin(2\alpha) R^{1,5}}{c\sqrt{GM}m}$.

Подставляя значения
$R = 1 \text{AU}$, $A = 10000 \text{m}^2 $, $I = 1374 \text{W/m}^2 $
, получаем
$\tfrac{dR}{dt}= 354,6 \text{m/sec}$

Это правильное решение? В русском задачнике задача отсутствует.

[Theoristos]

Похоже на то.
Посчитал через кориолисовы силы, получилось так же, но не без подводных камней.

[Theoristos]

ps: один из камешков в том, что замедление орбитальной скорости - существенно. Если считать его нулевым и просто приравнять тангенциальное ускорение от движителя кориолисовому ускорению от заданной радиальной скорости - ответ будет неправильный.

[Igrickiy(senior)]

Theoristos в сообщении #1396051 писал(а):

Если считать его нулевым и просто приравнять тангенциальное ускорение от движителя кориолисовому ускорению от заданной радиальной скорости - ответ будет неправильный.

А без Кориолиса никак нельзя?

Uchitel'_istorii в сообщении #1395279 писал(а):

Т.к. поглощенная мощность пропорциональна $\cos(\alpha)$

В условии сказано, что

Uchitel'_istorii в сообщении #1395279 писал(а):

в качестве "паруса" радиационного давления будет использоваться тонкий лист высокоотражающей пластиковой пленки.

поэтому не вижу никакого смысла учитывать, как это сделал ТС, поглощение.
ТС не учитывал, как я понимаю, влияние тангенциальной составляющей силы радиационного давления света, т.к. это эффект второго порядка малости по величине отношения силы притяжения к силе радиационного давления.

[Theoristos]

Igrickiy(senior) в сообщении #1396054 писал(а):

А без Кориолиса никак нельзя?

Да почему же. Вон автор темы через энергетику посчитал.
Мне было любопытно попробовать другим методом, плюс на том пути динамика чуть ярче виднеется.

[Igrickiy(senior)]

Theoristos в сообщении #1396051 писал(а):

один из камешков в том, что замедление орбитальной скорости - существенно. Если считать его нулевым и просто приравнять тангенциальное ускорение от движителя кориолисовому ускорению от заданной радиальной скорости - ответ будет неправильный.

Но изменение орбитальной скорости - эффект второго порядка малости.
Поэтому тангенциальным ускорением можно пренебречь, но тогда и ответ "по Кориолису" плывёт.
Ваше мнение?

[Theoristos]

Igrickiy(senior) в сообщении #1396413 писал(а):

Но изменение орбитальной скорости - эффект второго порядка малости.

Второй порядок при разложении по чём?
Как раз оказывается что пренебречь нельзя - снижению орбитальной $V$ при увеличении радиуса орбиты с некой скоростью соответствует тангенциальное ускорение вполне сравнимое с кориолисовым.
В итоге, для строгости вывода мне пришлось решать систему из двух уравнений в ускоренно вращающейся системе координат (так уравнения чуть проще получились).