2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Зависимость скорость от времени с учетом силы сопротивления
Сообщение22.05.2019, 11:20 


14/07/16
57
Здравствуйте, пытаюсь решить такую задачу:
Материальную точку подняли на высоту $y_0$ и отпустили. Нужно найти зависимость скорости и координаты $y$ от времени с учетом действующей силы сопротивления по Ньютону.
Решаю задачу следующим образом:
Ввожу систему координат OXY (ось ОY направлена вертикально вверх, ось ОX направлена горизонтально на право). На падающую точку действует 2 силы: сила сопротивления по ньютону, и сила тяжести. Т.е. $\vec{F_\Sigma} = \vec{F_t} + \vec{F_n}$. Из 2го з.н. получаем $m\vec{a} = m\vec{g} + k|V|\vec{V}$. Найдем проекцию на ось ОY: т.к. сила тяжести действует вертикально вниз, то слагаемое $m\vec{g}$ входит со знаком минус, сила сопротивления действует вертикально вверх (против движения материальной точки) значит слагаемое $k|V|\vec{V}$ входит со знаком плюс, суммарная сила действует вертикально вниз (т.к. тело в итоге падает) значит и $m\vec{a}$ входит со знаком минус. В итоге получаю такое диф.ур. $-ma = -mg + kV^2$ или что тоже самое $ ma = mg - kV^2$.
Пользуясь тем что $ a = \dot{V}$ и т.к. $V(0) = 0$ получаю следующую зависимость:
$V(t) = \sqrt{\frac{mg}{k}} \frac{1-e^{2\sqrt{\frac{gk}{m}}t}}{1+e^{2\sqrt{\frac{gk}{m}}t}}$. В этом результате смущает то что $V(t) \leqslant 0$, но я так понимаю это из-за того что вектор скорости направлен вниз при падении материальной точки, и модуль скорости со временем будет расти как $|V(t)|$. Далее пользуясь тем что $\dot{y} = V$ и $y(0) = y_0$ получаю зависимость:
$y(t) = y_0 + \sqrt{\frac{mg}{k}}t - \frac{m}{k} ln \left( \frac{1+e^{2\sqrt{\frac{gk}{m}}t}}{2} \right)$.
Скажите пожалуйста, правильно ли я все понимаю, и верны ли мои выводы ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Зависимость скорость от времени с учетом силы сопротивления
Сообщение22.05.2019, 12:44 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
NEvOl в сообщении #1394506 писал(а):
Скажите пожалуйста, правильно ли я все понимаю, и верны ли мои выводы ?

Знак полученной скорости не соответствует дифференциальному уравнению. Чтобы не путаться со знаками, проще всего направить ось $y$ вниз, тогда скорость получится положительной, как и смещение по $y$.
Скорость у меня получается такой же (с точностью до знака).
В смещении под логарифмом выходит другое выражение, а именно
$$\ln\left(\frac{2e^{\alpha t}}{1+e^{\alpha t}}\right).$$
Здесь $\alpha=2\sqrt{gk/m}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зависимость скорость от времени с учетом силы сопротивления
Сообщение22.05.2019, 13:35 


14/07/16
57
DimaM в сообщении #1394525 писал(а):
Знак полученной скорости не соответствует дифференциальному уравнению.
Это значит ошибка в вычислениях ? Как вы это поняли ? какие знаки должны быть ?
Если ось ОУ направлена вниз то диф.ур. будет иметь вид: $ma = mg - kV^2$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Зависимость скорость от времени с учетом силы сопротивления
Сообщение22.05.2019, 13:42 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
NEvOl в сообщении #1394538 писал(а):
Если ось ОУ направлена вниз то диф.ур. будет иметь вид: $ma = mg - kV^2$ ?

Да.
В вашем выражении нужно будет поменять знак у скорости и пересчитать смещение (скорее всего, ошибка при подстановке пределов вылезла).

 Профиль  
                  
 
 Re: Зависимость скорость от времени с учетом силы сопротивления
Сообщение22.05.2019, 14:32 


14/07/16
57
DimaM в сообщении #1394540 писал(а):
NEvOl в сообщении #1394538 писал(а):
Если ось ОУ направлена вниз то диф.ур. будет иметь вид: $ma = mg - kV^2$ ?

Да.
В вашем выражении нужно будет поменять знак у скорости и пересчитать смещение (скорее всего, ошибка при подстановке пределов вылезла).

Я не понял вас. :-(
У меня в 1ом посте точно такое же было уравнение ведь.
NEvOl в сообщении #1394506 писал(а):
В итоге получаю такое диф.ур. $-ma = -mg + kV^2$ или что тоже самое $ ma = mg - kV^2$.

В чем разница тогда ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Зависимость скорость от времени с учетом силы сопротивления
Сообщение22.05.2019, 16:50 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
NEvOl в сообщении #1394554 писал(а):
У меня в 1ом посте точно такое же было уравнение ведь.
В результате решения этого уравнения должна получиться положительная скорость (если вначале была нулевая), а у вас отрицательная.
Вы уж определитесь с направлением оси: либо она вверх - тогда ускорение в первом дифуре с плюсом и скорость отрицательная, либо вниз - тогда второй дифур и скорость положительная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зависимость скорость от времени с учетом силы сопротивления
Сообщение22.05.2019, 18:02 


14/07/16
57
если ось ОУ вверх, то я получаю такое ду: $-ma = -mg + kV^2$ где $a > 0$, и тут скорость будет как $V(t) \leqslant 0$, при этом модуль скорости изменяется как $\left | V(t) \right| $ верно ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Зависимость скорость от времени с учетом силы сопротивления
Сообщение22.05.2019, 21:06 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
NEvOl в сообщении #1394506 писал(а):
Ввожу систему координат OXY (ось ОY направлена вертикально вверх, ось ОX направлена горизонтально на право).


Совершенно бесполезное (в данном случае) и странное занятие.
а) так как тело в момент $t=0$ (когда его отпускают) покоилось, то всякие ускорения, отличные от вертикальных, исключены. А значит задача одномерна.
б) А почему ось $OX$ направлена направо? А не, скажем, налево или вперед, или назад? И "направо" это куда?

Либо Вы вводите "честную" трехмерную систему координат, а потом так же честно доказываете, что движение происходит только вдоль одной оси.
Либо (что менее строго) сразу сводите задачу к одномерной рассуждениями, по типу приведенных выше.

-- 22.05.2019, 21:12 --

Вот это правильное уравнение:
NEvOl в сообщении #1394506 писал(а):
Из 2го з.н. получаем $m\vec{a} = m\vec{g} + k|V|\vec{V}$


А дальше вместо честных проекций на выбранную ось идет путаница со знаками.
Надо так:
Пусть ось OY направлена вверх, тогда в проекциях на неё
$m a_y = m (-g) + k|V|V_y$

Если ось OY' направлена вниз:
$m a_y = m g + k|V|V_y$

 Профиль  
                  
 
 Re: Зависимость скорость от времени с учетом силы сопротивления
Сообщение23.05.2019, 08:47 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Опс. "Слона-то я и не приметил".

Вот это правильное уравнение:
NEvOl в сообщении #1394506 писал(а):
$\vec{F_\Sigma} = \vec{F_t} + \vec{F_n}$


А сила сопротивления будет равна $\vec{F_n} = - k |V|\vec{V}$.
Минус тут обозначает, что вектор силы сопротивления и вектор скорости антиколлинеарны (параллельны и противонаправлены).
Этот минус никак не зависит от выбранной системы отсчета\системы координат.

Тогда в векторном виде:
$m\vec{a} = m\vec{g} - k|V|\vec{V}$

В проекциях на любую ось $Ox$:
$m a_x = m g_x - k|V| V_x$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group