Задача по геометрической оптике

[dimas29]

Задача: При каком непрерывном распределении показателя преломления в пространстве луч вышедший из точечного источника снова вернется в него?
Думаю, что нужно решать уравнение луча $\frac{d}{ds}[n(x,y,z)\frac{d\vec{r}}{ds}]=\operatorname{grad}n(x,y,z)$, где $\frac{d\vec{r}}{ds}=\vec{s}$ - единичный касательный вектор к кривой $\vec{r}(s)$, задающей траекторию луча. Как я понял здесь $s$ - длина кривой, отсчитываемая от некоторой точки. Допустим траектория луча описывается окружностью радиуса $a$ с центром в начале координат и пусть задача двумерная для простоты,то есть $n=n(x,y)$. Тогда как задать кривую, в нашем случае окружность, $\vec{r}(s)$ ? Как взять такую производную по длине кривой в левой части уравнения? Еще интересует почему $n=n(x,y,z)$ в уравнении луча стоит под знаком дифференцирования $\frac{d}{ds}$, если $(x,y,z)$ - любая точка пространства, не зависящая от $s$ и по идее $x,y,z$- три независимые друг от друга переменные. Понятно, что $\vec{r}(s)=x(s)\vec{i}+y(s)\vec{j}$ в двумерном случае, но тогда и $n=n(x(s),y(s))$, но показатель преломления нужно определить во всех точках пространства, а не только в тех, что лежат на окружности. Может я все не так понимаю... Благодарю за любую помощь!

[DimaM]

dimas29 в сообщении #1392929 писал(а):

Задача: При каком непрерывном распределении показателя преломления в пространстве луч вышедший из точечного источника снова вернется в него?

Любой луч или хотя бы один?

-- 15.05.2019, 10:53 --

dimas29 в сообщении #1392929 писал(а):

Еще интересует почему $n=n(x,y,z)$ в уравнении луча стоит под знаком дифференцирования $\frac{d}{ds}$, если $(x,y,z)$ - любая точка пространства, не зависящая от $s$ и по идее $x,y,z$- три независимые друг от друга переменные.

Физические соображения: рассмотрим две точки волнового фронта, пусть у них координаты $\vec{r}$ и $\vec{r}+\vec{dr}$. В другом месте луча смещение первой точки пусть будет $s$, второй $s+ds$. Из очевидного условия равенства набега фазы получаем $n(\vec{r})s=n(\vec{r}+\vec{dr})(s+ds)$.

[dimas29]

Цитата:

Любой луч или хотя бы один?

В условии ничего не сказано, но думаю, достаточно хотя бы одного.
Пробовал решать так: для простоты выбрал траекторию луча в виде окружности на плоскости $(x,y)$, задав ее в виде: $x(s)=Rcos(\frac{s}{R}), y(s)=Rsin(\frac{s}{R})$, где $s\in[0,2\pi R]$, $R$ - радиус окружности с центром в начале координат. Затем расписываю производную $\frac{d\vec{r}}{ds}=\frac{dx(s)}{ds}\vec{i}+\frac{dy(s)}{ds}\vec{j}=-sin(\frac{s}{R})\vec{i}+cos(\frac{s}{R})\vec{j}$. Производную в левой части исходного уравнения беру так: $\frac{d}{ds}[n\frac{d\vec{r}}{ds}]=\frac{dn}{ds}\frac{d\vec{r}}{ds}+n\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}=n\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}+(\operatorname{grad}n,\frac{d\vec{r}}{ds})\frac{d\vec{r}}{ds}=\operatorname{grad}n=\frac{\partial n}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial n}{\partial y}\vec{j}$. В итоге в левую часть входит зависимость от $s$. Правая часть с градиентом показателя преломления зависит только от $x,y$. Скорее всего я где-то ошибся, либо не понимаю смысл производной $\frac{d}{ds}$ и как ее считать.

[Red_Herring]

dimas29 в сообщении #1393181 писал(а):

В условии ничего не сказано, но думаю, достаточно хотя бы одного.

Рассмотрите $n= n(r)$, где $r$ расстояние до центра $O$, и подберите чтобы все окружности с данным центром $O$ были лучами.