Измеримость сечения

[Raja19]

Доброго времени суток!

Задача: $\mathfrak{M}_\textit{d}$ --- $\sigma$-алгебра измеримых подмножеств $\mathbb{R}^\textit{d}$.
Пусть $\textit{M}\in\mathfrak{M}_2$. Показать, что для п.в. $\textit{x}$ сечение $\textit{M}_\textit{x}\in\mathfrak{M}_1$.

Представил $\textit{M}$ в виде объединения $\textit{A}$ из $\mathfrak{M}_1\otimes\mathfrak{M}_1$ и множества меры нуль $\textit{N}$. Известно, что сечение объединения - объединение сечений, а также, что $\textit{A}_\textit{x}\in\mathfrak{M}_1$. Хочется показать, что для п.в. $\textit{x}$ $\textit{N}_\textit{x}$ - множество меры нуль. Не получается.

Как это можно сделать. Или есть какая-то другая идея?

[valerych]

После того как множество $M$ представлено в виде объединения борелевского множества и множества $N$ меры нуль, нужно показать, что сечения $N_x$ имеют нулевую меру при почти всех $x$. Множество $N$ можно поместить внутрь борелевского множества $B$ меры нуль. Тогда $0 = \mu(N) = \mu(B) = \int\mu_y(B_x)d\mu_x$. Поэтому $\mu_y(B_x) = 0$ при почти всех $x$, откуда и из соотношения $N_x \subset B_x$ следует измеримость $N_x$ при почти всех $x$.

[Raja19]

valerych в сообщении #1392730 писал(а):

После того как множество $M$ представлено в виде объединения борелевского множества и множества $N$ меры нуль, нужно показать, что сечения $N_x$ имеют нулевую меру при почти всех $x$. Множество $N$ можно поместить внутрь борелевского множества $B$ меры нуль. Тогда $0 = \mu(N) = \mu(B) = \int\mu_y(B_x)d\mu_x$. Поэтому $\mu_y(B_x) = 0$ при почти всех $x$, откуда и из соотношения $N_x \subset B_x$ следует измеримость $N_x$ при почти всех $x$.

Осознал! Спасибо!