Пусть

--- сюръективный гомоморфизм (коммутативных ассоциативных колец с единицей), пусть

--- максимальный идеал,

--- его прообраз. Допустим, что существует идеал

, промежуточный между

и

. Тогда, как вы уже доказали,

.
Поэтому любой элемент из

можно представить как

, где

, а

. Остается заметить .... что ?