Логика высказываний (она же - логика, исчисление высказываний и формальная логика?) - это наиболее "универсальная" и общая логика, которая задает принципы достоверных непротиворечивых и т.п. рассуждений вообще.
Нет. Исчисление высказываний — это небольшая часть математической логики, в которой рассматриваются правила комбинирования высказываний и вычисления значений истинности этих комбинаций (исключительно в тех случаях, когда значения истинности составляющих высказываний заранее известны), а также правило вывода modus ponens, позволяющее из одних "истинных" высказываний получать другие. Никаких кванторов в исчислении высказываний нет.
Кванторы появляются в исчислении предикатов. Именно исчисление предикатов является базой для построения математических теорий.
Нужно также иметь в виду, что есть куча всяких других логик, из которых важнейшей является, видимо, интуиционистская логика.
Есть, например, многосортные логики, многозначные логики, логики второго порядка, и уж не знаю, какие ещё.
На основе одной из вышеперечисленных логик можно построить математическую логику
Нет. Математическая логика включает всё перечисленное выше, а также ещё кучу всякой всячины типа теории доказательств, теории моделей и т. д.
Если при описании логики высазываний/высших порядков употребляют слова "множество", "элемент принадлежит множеству", "функция" и т.п. - то под ними подразумеваются наивные, интуитивно понятные конструкции, которые являются только аналогом тех же понятий (омонимами?) из других разделов математики (например функция из теории множеств и матана).
При описании логики любого вида, а также любой математической теории используется метатеория (= метаязык), в качестве которой, как правило, выступает естественный язык, но не возбраняется использовать с этой целью какую-нибудь достаточно сильную формальную теорию. Обычно достаточно арифметики Пеано, но чрезвычайно удобно воспользоваться теорией множеств (обычно ZFC или NBG). Что бы там ни говорил искренне уважаемый мной
george66, но теория множеств, как правило, существенно удобнее теории категорий.