Оценка вероятности связности случайного графа

[Optimizator]

Нижняя оценка вероятности связности случайного графа $G_{n,p}$.
(Это неориентированный граф без петель и кратных ребер, в который каждое ребро полного графа на $n$ вершинах включается независимо от других ребер с вероятностью $p$.)

Вероятность того, что граф не связен, оценивается при $p(n)=\frac{c\ln n}{n}$, $c>1$, в статье Райгородского А.М. (ТРУДЫ МФТИ, 2010, Том 2, \No 4) фактически так.
Перебирая возможные множества вершин $V$, которые изолированы в графе, имеем

$$ \Prob\{G_{n,p}\text{ не связен }\}=\Prob\left( \bigcup_{1\le k\le n-1} \bigcup_{|V|=k} \{V \text{ изолировано от остальных вершин}\} \right), $$

что не превосходит $ \sum_{1\le k\le n-1} \tbinom{n}{k} (1-p)^{k(n-k)}\le \sum_{1\le k\le n/2} 2\tbinom{n}{k} (1-p)^{k(n-k)}=s(n,p). $
Далее автор пишет: "Оставшаяся часть рассуждения состоит в доказательстве того, что слагаемые с $k > 1$ и $k < n$ пренебрежимо малы по сравнению с первым слагаемым. Соответствующую выкладку мы пропустим. Если же поверить в ее справедливость, то получится, что вся сумма доминируется первым и последним слагаемыми, а стало быть, и она стремится к нулю."

Как все-таки доказать, что $s(n,p)\to 0$ при $n\to\infty$? Верно ли вообще это?
Отношение $ b_n:=\tfrac{a_{n+1}}{a_n}, \quad a_n=\tbinom{n}{k} (1-\tfrac{c\ln n}{n})^{k(n-k)} $ ведет себя не монотонно...

[ozheredov]

(Оффтоп)

Гораздо интереснее было бы получить распределение числа компонент связности при больших n