Хорошо, допустим, что у нас есть один комплексный корень
(пусть это к примеру корень полинома
и пусть
), следовательно дискриминант
.
Имеем при
Так как
только при
и
, то логично положить, что
. Дальше остаётся заметить, что если
и
, то
и
где
- комплексное число, а отсюда заключаем, что если
полиномы 2 степени с вещественными коэффициентами, то эти коэффициенты определены однозначно с точностью до порядка так, как указано, то есть
и
Нам требуется, чтобы коэффициенты перед
в обоих уравнениях равнялись нулю, то есть имеем систему уравнений:
Отсюда находим квадратное уравнение определяющее
:
, которое имеет решение, если
, коэффициент
вследствие указанного вначале неравенства, следовательно если у полученного (в качестве дискриминанта
) квадратного многочлена от
у самого дискриминант
неположительный, то
. Но
, что и требовалось доказать.
Если же все корни вещественные, то по такому плану доказать не получается. Пусть, например
, решением полученной ранее системы уравнений будет
, что нам явно не подходит, следовательно для данного случая нужно перекомпоновать корни так, чтобы получить вполне определённые два квадратных двучлена с другими коэффициентами, а вот как раз доказать, что это всегда можно сделать, у меня не получается, выходят очень громоздкие формулы от четырёх переменных (четырёх корней, которые нужно к тому же поставить на нужные места), в которых никакой красоты найти возможности не представляется.