Хорошо, допустим, что у нас есть один комплексный корень

(пусть это к примеру корень полинома

и пусть

), следовательно дискриминант

.
Имеем при


Так как

только при

и

, то логично положить, что

. Дальше остаётся заметить, что если

и

, то

и

где

- комплексное число, а отсюда заключаем, что если

полиномы 2 степени с вещественными коэффициентами, то эти коэффициенты определены однозначно с точностью до порядка так, как указано, то есть

и

Нам требуется, чтобы коэффициенты перед

в обоих уравнениях равнялись нулю, то есть имеем систему уравнений:

Отсюда находим квадратное уравнение определяющее

:

, которое имеет решение, если

, коэффициент

вследствие указанного вначале неравенства, следовательно если у полученного (в качестве дискриминанта

) квадратного многочлена от

у самого дискриминант

неположительный, то

. Но

, что и требовалось доказать.
Если же все корни вещественные, то по такому плану доказать не получается. Пусть, например

, решением полученной ранее системы уравнений будет

, что нам явно не подходит, следовательно для данного случая нужно перекомпоновать корни так, чтобы получить вполне определённые два квадратных двучлена с другими коэффициентами, а вот как раз доказать, что это всегда можно сделать, у меня не получается, выходят очень громоздкие формулы от четырёх переменных (четырёх корней, которые нужно к тому же поставить на нужные места), в которых никакой красоты найти возможности не представляется.