Сколько отдаленных точек можно поместить в единичный куб?

[g______d]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1392083 писал(а):

хотя, возможно, известное

Да, известное: см. страницы 267-268 (я уже приводил ссылку на эту статью):

https://www.cambridge.org/core/services ... a_cube.pdf

[svv]

Ну, это уже не ко мне вопрос. Я ведь всего этого не знал, пока не прочитал сообщение venco:

venco в сообщении #1391921 писал(а):

Допустим точек 8, тогда они должны находиться в угловых кубиках со стороной $1\over 2$ (см сообщение svv). Тогда ограничение можно усилить до угловых кубиков со стороной $1-{\sqrt 2\over 2}$, учитывая только точки у соседних вершин. Тогда ограничение можно ещё усилить, и так далее до угловых кубиков со стороной $0$.

[Markiyan Hirnyk]

Вот как задача решается с применением Математики:

NMaximize[{Indexed[x, 
   1], (Indexed[x, 1] - Indexed[x, 2])^2 + (Indexed[y, {1}] - 
        Indexed[y, 2])^2 + (Indexed[z, {1}] - Indexed[z, {2}])^2 >= 
    1.001 && (Indexed[x, {1}] - 
        Indexed[x, {3}])^2 + (Indexed[y, {1}] - 
        Indexed[y, {3}])^2 + (Indexed[z, {1}] - Indexed[z, {3}])^2 >= 
    1.001 && (Indexed[x, {2}] - 
        Indexed[x, {3}])^2 + (Indexed[y, {2}] - 
        Indexed[y, {3}])^2 + (Indexed[z, {2}] - Indexed[z, {3}])^2 >= 
    1.001 && (Indexed[x, {1}] - 
        Indexed[x, {4}])^2 + (Indexed[y, {1}] - 
        Indexed[y, {4}])^2 + (Indexed[z, {1}] - Indexed[z, {4}])^2 >= 
    1.001 && (Indexed[x, {2}] - 
        Indexed[x, {4}])^2 + (Indexed[y, {2}] - 
        Indexed[y, {4}])^2 + (Indexed[z, {2}] - Indexed[z, {4}])^2 >= 
    1.001 && (Indexed[x, {3}] - 
        Indexed[x, {4}])^2 + (Indexed[y, {3}] - 
        Indexed[y, {4}])^2 + (Indexed[z, {3}] - Indexed[z, {4}])^2 >= 
    1.001 && (Indexed[x, {1}] - 
        Indexed[x, {5}])^2 + (Indexed[y, {1}] - 
        Indexed[y, {5}])^2 + (Indexed[z, {1}] - Indexed[z, {5}])^2 >= 
    1.001 && (Indexed[x, {2}] - 
        Indexed[x, {5}])^2 + (Indexed[y, {2}] - 
        Indexed[y, {5}])^2 + (Indexed[z, {2}] - Indexed[z, {5}])^2 >= 
    1.001 && (Indexed[x, {3}] - 
        Indexed[x, {5}])^2 + (Indexed[y, {3}] - 
        Indexed[y, {5}])^2 + (Indexed[z, {3}] - Indexed[z, {5}])^2 >= 
    1.001 && (Indexed[x, {4}] - 
        Indexed[x, {5}])^2 + (Indexed[y, {4}] - 
        Indexed[y, {5}])^2 + (Indexed[z, {4}] - Indexed[z, {5}])^2 >= 
    1.001 && 
   Indexed[x, 1] >= 
    0 && (Indexed[x, 1] - Indexed[x, 6])^2 + (Indexed[y, {1}] - 
        Indexed[y, 6])^2 + (Indexed[z, {1}] - Indexed[z, {6}])^2 >= 
    1.001 && (Indexed[x, 2] - Indexed[x, 6])^2 + (Indexed[y, {2}] - 
        Indexed[y, 6])^2 + (Indexed[z, {2}] - Indexed[z, {6}])^2 >= 
    1.001 && (Indexed[x, 3] - Indexed[x, 6])^2 + (Indexed[y, {3}] - 
        Indexed[y, 6])^2 + (Indexed[z, {3}] - Indexed[z, {6}])^2 >= 
    1.001 && (Indexed[x, 4] - Indexed[x, 6])^2 + (Indexed[y, {4}] - 
        Indexed[y, 6])^2 + (Indexed[z, {4}] - Indexed[z, {6}])^2 >= 
    1.001 && (Indexed[x, 5] - Indexed[x, 6])^2 + (Indexed[y, {5}] - 
        Indexed[y, 6])^2 + (Indexed[z, {5}] - Indexed[z, {6}])^2 >= 
    1.001 && (Indexed[x, 1] - Indexed[x, 7])^2 + (Indexed[y, {1}] - 
        Indexed[y, 7])^2 + (Indexed[z, {1}] - Indexed[z, {7}])^2 >= 
    1.001 && (Indexed[x, 2] - Indexed[x, 7])^2 + (Indexed[y, {2}] - 
        Indexed[y, 7])^2 + (Indexed[z, {2}] - Indexed[z, {7}])^2 >= 
    1.001 && (Indexed[x, 3] - Indexed[x, 7])^2 + (Indexed[y, {3}] - 
        Indexed[y, 7])^2 + (Indexed[z, {3}] - Indexed[z, {7}])^2 >= 
    1.001 && (Indexed[x, 4] - Indexed[x, 7])^2 + (Indexed[y, {4}] - 
        Indexed[y, 7])^2 + (Indexed[z, {4}] - Indexed[z, {7}])^2 >= 
    1.001 && (Indexed[x, 5] - Indexed[x, 7])^2 + (Indexed[y, {5}] - 
        Indexed[y, 7])^2 + (Indexed[z, {5}] - Indexed[z, {7}])^2 >= 
    1.001 && (Indexed[x, 6] - Indexed[x, 7])^2 + (Indexed[y, {6}] - 
        Indexed[y, 7])^2 + (Indexed[z, {6}] - Indexed[z, {7}])^2 >= 
    1.001 && Indexed[x, 1] >= 0 && Indexed[x, 1] <= 1 && 
   Indexed[x, 2] >= 0 && Indexed[x, 2] <= 1 && Indexed[x, 3] >= 0 && 
   Indexed[x, 3] <= 1 && Indexed[x, 4] >= 0 && Indexed[x, 4] <= 1 && 
   Indexed[y, 1] >= 0 && Indexed[y, 1] <= 1 && Indexed[y, 2] >= 0 && 
   Indexed[y, 2] <= 1 && Indexed[y, 3] >= 0 && Indexed[y, 3] <= 1 && 
   Indexed[y, 4] >= 0 && Indexed[y, 4] <= 1 && Indexed[z, 1] >= 0 && 
   Indexed[z, 1] <= 1 && Indexed[z, 2] >= 0 && Indexed[z, 2] <= 1 && 
   Indexed[z, 3] >= 0 && Indexed[z, 3] <= 1 && Indexed[z, 4] >= 0 && 
   Indexed[z, 4] <= 1 && Indexed[x, 5] >= 0 && Indexed[x, 5] <= 1 && 
   Indexed[y, 5] >= 0 && Indexed[y, 5] <= 1 && Indexed[z, 5] >= 0 && 
   Indexed[z, 5] <= 1 && Indexed[x, 6] >= 0 && Indexed[x, 6] <= 1 && 
   Indexed[y, 6] >= 0 && Indexed[y, 6] <= 1 && Indexed[z, 6] >= 0 && 
   Indexed[z, 6] <= 1 && Indexed[x, 7] >= 0 && Indexed[x, 7] <= 1 && 
   Indexed[y, 7] >= 0 && Indexed[y, 7] <= 1 && Indexed[z, 7] >= 0 && 
   Indexed[z, 7] <= 1}, {Indexed[x, 1], Indexed[x, 2], Indexed[x, 3], 
  Indexed[x, 4], Indexed[x, 5], Indexed[x, 6], Indexed[x, 7], 
  Indexed[y, 1], Indexed[y, 2], Indexed[y, 3], Indexed[y, 4], 
  Indexed[y, 5], Indexed[y, 6], Indexed[y, 7], Indexed[z, 1], 
  Indexed[z, 2], Indexed[z, 3], Indexed[z, 4], Indexed[z, 5], 
  Indexed[z, 6], Indexed[z, 7]}, Method -> "DifferentialEvolution"]
{1., {Indexed[x, {1}] -> 1., Indexed[x, {2}] -> 0.736543, 
  Indexed[x, {3}] -> 0.000953636, Indexed[x, {4}] -> 0.999888, 
  Indexed[x, {5}] -> 0.0010957, Indexed[x, {6}] -> 0., 
  Indexed[x, {7}] -> 1., Indexed[y, {1}] -> 0.967476, 
  Indexed[y, {2}] -> 0.00179236, Indexed[y, {3}] -> 0.712727, 
  Indexed[y, {4}] -> 7.67595*10^-8, Indexed[y, {5}] -> 0.000973333, 
  Indexed[y, {6}] -> 0.974891, Indexed[y, {7}] -> 1., 
  Indexed[z, {1}] -> 0.0000193274, Indexed[z, {2}] -> 0.00039306, 
  Indexed[z, {3}] -> 2.28036*10^-7, Indexed[z, {4}] -> 0.965628, 
  Indexed[z, {5}] -> 0.703141, Indexed[z, {6}] -> 0.980439, 
  Indexed[z, {7}] -> 0.99999}}
ListPointPlot3D[Table[{Indexed[x, j], Indexed[y, j], Indexed[z, j]}, {j, 1, 7}] /. %[[2]]]

$\{1.,\{x_{1}\to 1.,x_{2}\to 0.736543,x_{3}\to 0.000953636,x_{4}\to 0.999888,x_{5}\to 0.0010957,x_{6}\to 0.,x_{7}\to 1.,y_{1}\to 0.967476,y_{2}\to 0.00179236,y_{3}\to 0.712727,y_{4}\to \text{7.675947898496978$\grave{ }$$\,{10}^{\wedge}$-8},y_{5}\to 0.000973333,y_{6}\to 0.974891,y_{7}\to 1.,z_{1}\to 0.0000193274,z_{2}\to 0.00039306,z_{3}\to \text{2.2803606118236784$\grave{ }$$\,{10}^{\wedge}$-7},z_{4}\to 0.965628,z_{5}\to 0.703141,z_{6}\to 0.980439,z_{7}\to 0.99999\}\}$
Можно попробовать этот подход и в высших размерностях.