Подпоследовательность фундаментальной последовательности

[Konst24]

Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста, доказать, что любая подпоследовательность фундаментальной последовательности фундаментальна. Я так предполагаю, что она будет фундаментальная, так как все члены подпоследовательности лежат в самой последовательности? Как это записать аккуратно и корректно?

Предполагаю так.
Последовательность $(x_{n}) $ является фундаментальной, если
$(\forall \varepsilon >0) (\exists N \in \mathbb{N}) : (\forall n, m \geqslant N) (|x_{n} - x_{m}|< \varepsilon)$
Подпоследовательность $(x_{n_{k}}) $ будет фундаментальной, если
$(\forall \varepsilon >0) (\exists K \in \mathbb{N}) : (\forall k, p \geqslant N) (|x_{k} - x_{p}|< \varepsilon)$
Т.к. все элементы подпоследовательности $(x_{n_{k}}) $ (с тем же порядком следования) содержатся в последовательности $(x_{n}) $, то $K\geqslant N$ (так ли это?) и соответственно будут существовать $k,p$.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.