Метрика на пространстве непрерывных функций

[Konst24]

Здравствуйте, помогите разобраться, пожалуйста.
Можно ли метрику на пространстве $C[a, b]$ (пространство всех непрерывных функций на отрезке $[a,b]$) задать как $d(f,g)=\min \left\lbrace |f(x)-g(x)|, x \in [a, b] \right\rbrace $?
Аксиома симметрии и равенства нулю при равенстве функций выполняются, а как быть с аксиомой треугольника?

[Mikhail_K]

Konst24 в сообщении #1390970 писал(а):

Аксиома <...> равенства нулю при равенстве функций выполняется

А что это за аксиома такая, не напомните? Приведите пожалуйста её точную формулировку.

К слову, согласно правилам форума оформлять TeXом нужно все формулы, в т.ч. $[a,b]$ и $C[a,b]$.

[Red_Herring]

Mikhail_K в сообщении #1390971 писал(а):

К слову, согласно правилам форума оформлять TeXом нужно все формулы, в т.ч

Ну и $\min$ должен писаться как \min

[Konst24]

Mikhail_K в сообщении #1390971 писал(а):

Konst24 в сообщении #1390970 писал(а):

Аксиома <...> равенства нулю при равенстве функций выполняется

А что это за аксиома такая, не напомните? Приведите пожалуйста её точную формулировку.

К слову, согласно правилам форума оформлять TeXом нужно все формулы, в т.ч. $[a,b]$ и $C[a,b]$.

Поправил.

Аксиома треугольника $\forall f, g, h \in C[a, b]$ выполнено $d(f, g) \leqslant d(f, h) + d(h, g)$

[svv]

Нет, Вас же про другую аксиому спросили. Mikhail_K процитировал Ваши слова, к которым возник вопрос.

[Mikhail_K]

Konst24 в сообщении #1390973 писал(а):

Аксиома треугольника

Я переспросил не про аксиому треугольника, а про "аксиому равенства нулю".

[Konst24]

Mikhail_K в сообщении #1390975 писал(а):

Konst24 в сообщении #1390973 писал(а):

Аксиома треугольника

Я переспросил не про аксиому треугольника, а про "аксиому равенства нулю".

Да, извините.
$d(f, g) = 0 \Longleftrightarrow f=g$

[Mikhail_K]

Konst24 в сообщении #1390978 писал(а):

Да, извините.
$d(f, g) = 0 \Longleftrightarrow f=g$

И почему она выполняется, можете подробнее написать?

[Konst24]

Mikhail_K в сообщении #1390981 писал(а):

Konst24 в сообщении #1390978 писал(а):

Да, извините.
$d(f, g) = 0 \Longleftrightarrow f=g$

И почему она выполняется, можете подробнее написать?

Нашел ошибку.
Докажем необходимость.
$ \min \left\lbrace |f(x)-g(x)|, x \in [a, b] \right\rbrace$ = 0
$|f(x)-g(x)|=0$
$\exists x \in [a, b] : f(x)-g(x)=0$

Получается, что мы не доказали то, что функции равны (совпадают) по необходимости. Но достаточность будет выполняться, т.к. если функции равны (т.е. совпадают), то соответственно их значения равны во всех точках, а значит их разность всегда равна нулю. Но по аксиоме у нас должна выполняться и необходимость, и достаточность, поэтому это не метрика, верно?

[Mikhail_K]

Konst24 в сообщении #1390982 писал(а):

поэтому это не метрика, верно?

Верно, не метрика.
Скажите только чуть более чётко, почему необходимость не выполняется (т.е. что $d(f,g)=0$, $f,g\in C[a,b]$ не влечёт $f=g$).
А то, строго говоря, "потому что это не получилось доказать" - не объяснение.

[Konst24]

Mikhail_K в сообщении #1390983 писал(а):

Konst24 в сообщении #1390982 писал(а):

поэтому это не метрика, верно?

Верно, не метрика.
Скажите только чуть более чётко, почему необходимость не выполняется (т.е. что $d(f,g)=0$, $f,g\in C[a,b]$ не влечёт $f=g$).
А то, строго говоря, "потому что это не получилось доказать" - не объяснение.

Хорошо, спасибо.

[svv]

Konst24
Мы стараемся не цитировать без необходимости всё предыдущее сообщение собеседника (то есть не допускать «избыточного цитирования»). Если совсем без цитаты не получается, процитируйте только минимум, без которого нельзя обойтись. Для этого выделите мышкой нужный фрагмент и нажмите кнопку «Вставка».
Цитирование не делается на автомате, цитата несёт смысловую нагрузку (как во втором сообщении темы).