Восстановление голоморфной функции

[nortonouls]

Здравствуйте. Получил вот такое задание:

1. Найти все гармонические функции вида $\ln |f(z)|=a(r) \cdot b(\varphi)$, где $a(r), b(\varphi)$ - дважды дифференцируемые функции.
2. Найти производную регулярной функции $f(z)$, для которой данная функция является $\ln |f(z)| $.
3. Найти регулярную функцию $f(z)$, используя теорему единственности.
   

Итак, с первым пунктом проблем не возникло - подставляем в уравнение Лапласа, разделяем переменные, решаем. Ответ:

$$g(r,\varphi)=\left(C_1 r^{\sqrt{\gamma}}+ C_2 r^{-\sqrt{\gamma}} \right) \left( D_1 \cos (\varphi \sqrt{\gamma})+D_2 \sin (\varphi\sqrt{\gamma})\right). $$

Далее я попытался составить систему

$$\begin{cases} \ln R(r,\varphi)=\left(C_1 r^{\sqrt{\gamma}}+ C_2 r^{-\sqrt{\gamma}} \right) \left( D_1 \cos (\varphi \sqrt{\gamma})+D_2 \sin (\varphi\sqrt{\gamma})\right) \\ \frac{\partial R}{\partial r}=\frac{R}{r } \frac{\partial \Phi }{\partial \varphi} \\ R \frac{\partial \Phi}{\partial r}=-\frac{1}{r} \frac{\partial R}{\partial \varphi} \end{cases}$$

(здесь использованы условия Коши-Римана для полярных координат и $R$ - модуль функции, $\Phi$ - аргумент). Получил гигантские выражения, которые даже приводить здесь не буду.

Преподаватель сказал мне, что я всё делаю не так, а на самом деле нужно сначала найти производную, используя формулу

$$f'(z)= \frac{r}{z} \left(\frac{\partial u}{\partial r}+i\frac{\partial v}{\partial r} \right), $$

таким образом легко и без гигантских выражений найти производную, затем положить $\varphi=0$, функция совпадёт с вещественной и далее по теореме единственности. А уже потом всё это проинтегрировать и получить саму функцию (задание 3).
Всё казалось логичным, пока я не пришёл домой и не вспомнил, что у меня нет функций $u$ и $v$, чтобы подставлять их в эту формулу и считать производные.

Я нашёл условия Коши-Римана в различных формах, а вот производную через модуль и аргумент выразить не смог, это вообще возможно? И как считать по этой формуле? Заранее благодарю за помощь.

[Markiyan Hirnyk]

Цитата:

все гармонические функции вида

Пожалуйста, четко формулируйте задачу: гармонические на каком множестве?