Интеграл с весом

[shukshin]

Добрый вечер, уважаемые участники форума!
Есть интеграл. В общем виде он выглядит так:
1.$I_1(a) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(ax) e^{-x^2}dx$.
Можно ли про него в таком виде что-то сказать?
Я пытался притянуть сюда преобразование Вейерштрасса, но не вышло: параметр не там и в нужное место заменами его не отправить.

2. Если известен интеграл из первого пункта, можно ли что-нибудь сказать про интеграл:
$I_2(a) = \int_{-\infty}^{+\infty} f^2(ax) e^{-x^2}dx$?
В идеале я хотел свести его к первому в том или ином виде.

3. Пусть $f(x) = \operatorname{Fourier}[K](x)$ для четной функции $K$.
Поможет ли это в вычислении $I_1(a), I_2(a)$?

Ситуация такая, что сами интегралы в конкретной подстановке $K$ вычисляются довольно долго, особенно $I_2(a)$. Учитывая специфику задач мне показалось, что я что-то не вижу и можно проще.

[StaticZero]

shukshin в сообщении #1389920 писал(а):

Учитывая специфику задач мне показалось, что я что-то не вижу и можно проще.

Иные физики заметят, что $e^{-x^2}$ имеет радиус локализации примерно равный трём. Потому $\int \limits_{-\infty}^{\infty} \approx \int \limits_{-3}^3$, если с функцией $f$ всё в порядке. Хотя если она даже и экспонента $e^{\pm ax}$, то гауссиана её прибьёт рано или поздно; радиус локализации при этом станет другой и вокруг другого значения.

Но я не физик.

shukshin в сообщении #1389920 писал(а):

Можно ли про него в таком виде что-то сказать?

Ну, наверное.

$$ \int \mathrm dx \ e^{-x^2} \int K(t) e^{i a x t} \ \mathrm dt = \int \mathrm dt \ K(t) \int e^{-x^2} e^{i a x t} \ \mathrm dx $$

внутренний интеграл на мой сонный взгляд от $t$ не шибко-то и зависит (опять же, из-за сильной локализации гауссианы).

Для второго интеграла

$$ \int \mathrm dx \ e^{-x^2} \int K(t) e^{i a x t} \ \mathrm dt \int K(t') e^{i a x t'} \mathrm dt' = \iint \mathrm dt \ \mathrm dt' \ K(t) K(t') \int e^{-x^2} e^{i a x (t + t')} \ \mathrm dx $$

и опять то же самое

-- 28.04.2019 в 02:48 --

Разумеется, это верно, если можно интегралы переставлять.

[SiberianSemion]

shukshin, моё телепатическое чутьё твердит, что за вопросами стоят конкретные задачи. Вот только какие?

[Vince Diesel]

3. Преобразование от четной функции четно. Так что интеграл по прямой равен удвоенному интегралу от нуля до $+\infty$. Для $a>0$ после замены $y=a^2x^2$ получается

$$ \frac1{2a}\int_0^\infty y^{-1/2}f(y^{1/2})e^{-y/a^2}\,dy=\frac1{2a}L[g][a^{-2}], $$

где $g(y)=y^{-1/2}f(y^{1/2})$, a $L$ — преобразование Лапласа. Для интеграла от $f^2$ получится $\frac1{2a}L[y^{1/2}g^2][a^{-2}]$.

Преобразование Фурье переводит произведение в свертку. Для Лапласа есть аналогичная формула. Но если надо для численных расчетов, то вряд ли выйдет проще.

Как вариант (не проверял), если функция $K$ продолжается в комплексную плоскость, то попробовать выразить преобразование Лапласа от $f$ через $K$ от комплексного аргумента.

[Someone]

StaticZero
Wolfram Mathematica даёт

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}e^{iaxt}dx=\sqrt{\pi}e^{-\frac 14a^2t^2}.$$

[StaticZero]

Someone, ну да, это же ПФ от гауссианы = гауссиана

ну тем более, если $K$ ограничена, то интегралы по $\mathbb R$ или $\mathbb R^2$ просто сводятся к интегралам по конечным и довольно узким областям

[shukshin]

Спасибо большое всем за ответы.

Я еще смотрел в сторону преобразований Эрмита, там довольно странная теорема о свертке тоже есть, но она только свертку переводит в произведение, а не наоборот (насколько я понял из статей там еще и от четности функций многое зависит).

С преобразованием Лапласа мне идея приглянулась, но похоже для численных расчетов там действительно ничуть не проще.