Перевернуть пирог по частям

[TOTAL]

Шоколад сверху может наступить гораздо раньше прихода пирога в исходное состояние. Или не может?

[wrest]

Sender в сообщении #1389330 писал(а):

Очевидно, venco говорит об $\alpha$, соизмеримых с $\pi$, потому что иначе мы не попадём в ранее сделанный разрез, а это неизбежно потребуется для возвращения.

Так не знаю, очевидно ли. Нигде не написано. Везде пишет "для любых". И в "доказательстве" для $n$ приписано что оно целое, а для остатка $r$ ничего не приписано. Пока из того что написал venco ясно только, что $\alpha \le 2\pi$

-- 25.04.2019, 11:34 --

TOTAL в сообщении #1389331 писал(а):

Шоколад сверху может наступить гораздо раньше прихода пирога в исходное состояние. Или не может?

Шоколад сверху на всём торте и есть исходное состояние.

[TOTAL]

wrest в сообщении #1389335 писал(а):

Шоколад сверху на всём торте и есть исходное состояние.

Исходное состояние - это и шоколад сверху и кусочки на своих местах.

[wrest]

TOTAL в сообщении #1389337 писал(а):

Исходное состояние - это и шоколад сверху и кусочки на своих местах.

А, ну так про кусочки на своих местах же не спрашивают. В случае куска кратного кругу ($\alpha=\frac{2\pi}{n}, n \in \mathbb{N}$) очевидно периоды "шоколад сверху" и "исходное состояние" совпадают и равны $2n$ переворачиваниям.

[mihaild]

Для случая $\alpha = 6, r = 2\pi - 6$ хватает четырех переворотов.

[Sender]

А, кажется, начинаю наконец понимать доказательство venco. Если у нас возникло зацикливание, так что мы из некоторого состояния (как его определяет venco) $A$ пришли снова в $A$, то, обратив последовательность переворотов вспять, мы снова придём в $A$. Но, обратив последовательность переворотов вспять, мы всегда можем вернуться в исходное состояние, так что $A$ может быть только им. Действительно, доказательство не предполагает соизмеримость $\alpha$ с $\pi$.

[TOTAL]

Sender в сообщении #1389342 писал(а):

А, кажется, начинаю наконец понимать доказательство venco. Если у нас возникло зацикливание

Как может возникнуть зацикливание без соизмеримости?

[mihaild]

TOTAL в сообщении #1389345 писал(а):

Как может возникнуть зацикливание без соизмеримости?

Нужно правильно множество состояний ввести. Посмотрите на гифку - там есть зацикливание по цветам, но вырезаемый сектор каждый раз разный.

[Sender]

TOTAL в сообщении #1389345 писал(а):

Как может возникнуть зацикливание без соизмеримости?

При переворачивании границы внутри переворачиваемого куска смещаются. Оказывается, это всегда происходит так, как нужно нам.

[TOTAL]

Если нет соизмеримости, каждый раз придется делать свежий разрез, который разделяет шоколад и не шоколад.
(Тоже начал сомневаться. Ведь из-за перворотов разрезы смещаются.)
(А если бы внимательнее прочитал английское решение, то без сомнения назвал бы количество разрезов. )

[Sender]

Нет, в какой-то момент переворачивание подставит старый разрез на нужное место.

[arseniiv]

Оказалось, вчера неправильно доказательство venco прочитал и думал, что оно только для углов $\pi\mathbb Q$, а торт режется на равные секторы (не понимаю, как так надо было читать, но так вышло), так что и о числе переворачиваний смотрел я тоже не в ту сторону. Немножко внезапное доказательство, хотя стоит только заметить сохранение чередования секторов, как оно придёт в голову совершенно закономерно. Иронично, что при переборе рациональных кратных оборота я этого не заметил, но использовал в записи и биты, и сдвиг места разреза.

[wrest]

mihaild в сообщении #1389340 писал(а):

Для случая $\alpha = 6, r = 2\pi - 6$ хватает четырех переворотов.

А можете пож-ста, для притормозивших типа меня, нарисовать последовательно
1. Исходный торт
2. Торт после первого разрезаие и переворота
3. Торт после второго разрезания и переворота
4. Торт после третьего разрезания и переворота
5. Торт после четвертого разрезания и переворота (должен быть весь шоколадный?)

Чтобы использовалось только три цвета: верх торта, низ торта, границы последнего разреза.

-- 25.04.2019, 13:20 --

mihaild в сообщении #1389340 писал(а):

Для случая $\alpha = 6, r = 2\pi - 6$ хватает четырех переворотов.

У вас на гифке торт никогда не становится весь одним цветом (синим или красным), там еще желтый и зеленый, довольно жирные, не похожи на границы разреза.

[TOTAL]

r,(r,d)
(r,D),R
d),R,(R
r,(R,D)
(r,d),r

Здесь d=a-r, смена размера - переворот, в скобках - что переворачивается

[slavav]

$r = \alpha\left\lbrace \frac{2\pi}{\alpha} \right\rbrace$. Красным обозначены сектора размера $r$, синим - $\alpha - r$.
Переворачивается пара секторов выделенных жирным. На каждой строке состояния до и после переворота.
Видно, что мы работаем с конечным числом кусков, новые разрезы не добавляются.