Дифференциальные формы и интеграл Лебега

[philurame]

Здравствуйте! Помогите пожалуйста разобраться: в интеграле Римана $dx$ обозначает дифф. форму (~ интеграл от дифф. формы по многообразию) - с таким понятием просто работать (сразу понятны замена переменных и интеграл Стилтьеса).

Но как воспринимать обозначение $\mu(dx)$ в $\int\limits_{X}^{}f(x)\mu(dx)$? Нельзя ли как-нибудь также свести к дифф. формам?
(такое обозначение есть в википедии и др. источниках https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0 ... 0%B3%D0%B0)

[alcoholist]

philurame в сообщении #1388738 писал(а):

Нельзя ли как-нибудь также свести к дифф. формам?

Согласно названию, дифференциальные формы подразумевают дифференцируемость. Поэтому $\mu(dx)=\rho(x)dx$. Мне так кажется.

[пианист]

philurame
Думаю, Вам стоит глянуть теорему Радона-Никодима (если еще не).

[Padawan]

philurame в сообщении #1388738 писал(а):

в интеграле Римана $dx$ обозначает дифф. форму

Это не верно. Интеграл Римана изучают до всяких дифф.форм. И исторически так было. $dx$ обозначает меру, длину, площадь, объём кусочка разбиения. То есть то же самое, что и в интеграле Лебега.

-- Пн апр 22, 2019 21:47:49 --

Интеграл по любой мере можно понимать как интегрирование дифф.форм, коэффициенты которых являются обобщёнными функциями.
Тут надо от задачи отталкиваться.

[g______d]

philurame в сообщении #1388738 писал(а):

Нельзя ли как-нибудь также свести к дифф. формам?

В теории можно, см. Федерер, "Геометрическая теория меры", глава IV.

Но говорят, что её читать невозможно, тем более если цель -- придать смысл одному обозначению...