2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Декартово произведение множеств
Сообщение20.04.2019, 15:18 


20/04/19
19
Декартово произведение множеств $A$ и $B$ — это множество всех упорядоченных пар $(a, b) \text{ где } a \in A \text{ и } b \in B$. Почему именно упорядоченных?

Допустим, $A = \{1, 2\}, B = \{a\}$, тогда $A \times B = \{(1, a), (2, a)\}$. Правильно ли я понимаю, что если бы декартово произведение определялось как множество всех неупорядоченных пар, то

$$A \times B = \{(1, a), (a, 1), (2, a), (a, 2)\}.$$

Т. е. в чем смысл слова упорядоченных в этом определении?

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение20.04.2019, 15:26 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
В данном случае — никак бы не изменилось. Вот если б, например, множества совпадали, была бы разница. Но, кстати говоря, не такая.
eanmos в сообщении #1388714 писал(а):
в чем смысл слова упорядоченных
Смысл слова «упорядоченных» в том, что рассматриваются упорядоченные пары. Неожиданно, правда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение20.04.2019, 15:34 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
eanmos в сообщении #1388714 писал(а):
Правильно ли я понимаю
Нет. В таком множестве было бы два элемента, поскольку перестановка элементов в паре не меняла бы ее.
eanmos в сообщении #1388714 писал(а):
Т. е. в чем смысл слова упорядоченных в этом определении?
Посмотрите, что будет получаться для множеств $A = \{1,2\}$, $B = \{1,2,3\}$ при наличии или при отсутствии этого слова в определении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение20.04.2019, 15:44 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Надо добавить, что неупорядоченные пары круглыми скобками обозначать не принято. Неупорядоченная пара $\{a,b\}$ — это просто множество, включающее только $a$ и $b$, потому какие-то другие скобки для них использовать — лишнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение20.04.2019, 15:49 


20/04/19
19
Т. е. если $A = \{1, 2\}$ и рассматриваются упорядоченные пары, то $A \times A = \{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)\}$, а если рассматриваются неупорядоченные пары, то $A \times A = \{\{1, 1\}, \{1, 2\}, \{2, 2\}\}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение20.04.2019, 16:07 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Декартово произведение — это множество упорядоченных пар.
Это неупорядоченное множество упорядоченных пар.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение20.04.2019, 16:32 


22/06/09
975
Одно из ключевых свойств произведения (множеств) - это функций (проекций), которая каждому элементу произведения сопоставляет один элемент из первого множества и второго множества, причём так, что если мы выберем по элементу из первого и второго множества, мы можем указать уникальный элемент произведения множества, проекции которого на первое и второе множество дают, соответственно, выбранные нами элементы. Упорядоченность пары - это просто способ указать какому множеству соответствует каждый элемент пары (первый первому, второй второму). Можно точно так же просто взять пару элементов и к каждому из них прицепить индекс.
Если множества разные и не пересекаются, то, разумеется, несложно отличить какой элемент в паре какому множеству принадлежит, но если каждый элемент в паре мог быть взят из любого множества, то нам нужен способ узнать это.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение20.04.2019, 16:44 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
eanmos в сообщении #1388722 писал(а):
Т. е. если $A = \{1, 2\}$ и рассматриваются упорядоченные пары, то $A \times A = \{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)\}$, а если рассматриваются неупорядоченные пары, то $A \times A = \{\{1, 1\}, \{1, 2\}, \{2, 2\}\}$?
Притом ещё стоит иметь в виду, что $\{1,1\}$ обозначает то же самое что и просто $\{1\}$ или $\{1,1,1,1,1\}$.

-- Сб апр 20, 2019 18:48:02 --

Ну, за вычетом того, что то второе «$\times$» надо обозначать каким-то другим значком и важных применений у него не найдётся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение20.04.2019, 17:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Множество неупорядоченных пар можно построить из множества упорядоченных пар. На парах вводится отношение эквивалентности $(a,b)\sim(b,a).$ Тогда $A\times_{\scriptscriptstyle \sim}B=A\times B/\sim.$

Легко заметить, что $A\times_{\scriptscriptstyle \sim}B\ne A\times B$ тогда и только тогда, когда $A\cap B\ne\varnothing.$

Для начинающих, легче всего представить себе декартово произведение дискретных множеств как таблицу, а декартово произведение непрерывных множеств - как часть координатной плоскости. В таком случае, множество неупорядоченных пар получается, если "сложить пополам" координатную плоскость по диагонали, и не различать между собой те точки, которые наложатся. Например, $[0,1]\times[0,1]$ будет квадрат, а $[0,1]\times_{\scriptscriptstyle \sim}[0,1]$ - треугольник.

(В этом сообщении везде используется "неточный" смысл равенства.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение20.04.2019, 17:29 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Скорее не треугольник, а квадрат со склейкой точек, симметричных относительно диагонали. Что навело меня на мысль, что
чуточку неверно: можно было бы определять симметричные отношения через эту штуку. Но не нужно, потому что интероперация с остальными отношениями будет ужасна, да и аналога этой конструкции для антисимметричных отношений уже не сделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение21.04.2019, 00:35 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
Возможно, так же полезно вспомнить определение упорядоченной пары на языке теории множеств - $(a,b)=\{a,\{a,b\}\}$ (в то время как неупорядоченная пара это просто множество $\{a,b\}$). Даже если $a=b$ эти штуки будут совсем разными

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение21.04.2019, 00:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Нет, полезно предупредить, что на языке теории множеств существует много разных реализаций упорядоченной пары.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение21.04.2019, 16:03 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Да, упорядоченная пара — это какая угодно штука $(\,\cdot\,,\,\cdot\,)$, удовлетворяющяя соотношению $(x,y) = (x',y') \Rightarrow x = x'\wedge y = y'$. (Если же определять сразу прямое произведение, а не отдельно пары, лучше по-категорному с проекциями как упоминалось у Dragon27.) Если бы при развитии теории множеств не нашлось бы приемлемой в других отношениях теории, в которой существуют упорядоченные пары, пришлось бы их добавлять в язык как отдельное неопределяемое понятие. То же можно сказать и о некоторых других кубиках, из которых собираются элементарные математические конструкции — натуральные числа, произвольные кортежи и последовательности, функции, отношения и т. п.; оказалось, всё это подвластно выражению через одну только принадлежность в достаточно богатой теории типа той же ZFC.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group