2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 теорвер: элементарное
Сообщение18.04.2019, 22:15 
Аватара пользователя


08/10/17
64
Камчатка
пусть есть независимые с.в. X,Y: плотность X: $p_X=\frac{t}{2}I_{[0, 2]}(t)$, Y равномерно распределена на [0, 3]
как доказать, что $P(r: Y(r)\leqslant1-X(r))=\int\limits_{0}^{1}\frac{t}{2}\frac{1-t}{3}dt$ ?

я знаю, что $P(Y^{-1}(B))=\int\limits_{B}^{}p_{Y}(t)dt$ ,поэтому решил сделать неправильно:
подставить $B=(-\infty, 1-X(r))$, тогда искомая вероятность = $\int\limits_{-\infty}^{1-X(r)}\frac{t}{2}I_{[0, 2]}dt$, которая зависит от r...

Подскажите пожалуйста, почему исходное равенство верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: теорвер: элементарное
Сообщение18.04.2019, 22:58 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Переменную $r$ следует выбросить как лишнюю сущность, как фикцию.

$p_X(x)=\frac x 2 I_{[0,2]}(x)$
Плотность распределения случайной величины $X$ в точке $x\in\mathbb R$ есть такая-то функция от $x$.
$p_Y(y)=\frac 1 3 I_{[0,3]}(y)$
Плотность распределения случайной величины $Y$ в точке $y\in\mathbb R$ есть такая-то функция от $y$.
$p_{X,Y}(x,y)=...$
Плотность совместного распределения случайных величин $X,Y$ в точке $(x,y)\in\mathbb R^2$ есть такая-то функция от $x$ и $y$.

$\mathsf P(Y\leqslant 1-X)=\iint I_A(x,y)\,p_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy=\iint\limits_{A}p_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy\,,$
где $A=\{(x,y): y\leqslant 1-x\}$
Вероятность того, что $Y\leqslant 1-X$, равна интегралу от плотности совместного распределения $X,Y$ по области $A\subset\mathbb R^2$, определяемой условием $y\leqslant 1-x$.

Вам остаётся только найти $p_{X,Y}(x,y)$ и взять интеграл.

 Профиль  
                  
 
 Re: теорвер: элементарное
Сообщение18.04.2019, 23:56 
Аватара пользователя


08/10/17
64
Камчатка
svv
спасибо за помощь! здесь, действительно, удобно воспользоваться формулой для совместного распределения. $p_{X,Y}(x,y)=p_{X}(x)p_{Y}(y)$ (в силу независимости X, Y; используя функцию распределения), ну а тогда переходя к повторному как раз возникает тот самый интеграл по одному переменному.

 Профиль  
                  
 
 Re: теорвер: элементарное
Сообщение19.04.2019, 00:02 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Совершенно верно. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group