параметр $\sigma^2$ в определении сабгауссовой величины

[stiv1995]

Добрый день,

Пусть $Y \sim \text{Bern}(p)$ является случайной бернуллиевой величиной с матожиданием $p$. Легко показать, что $Y$ является сабгауссовой величиной с параметром $\sigma^2 = 1/4$. Можно ли уточнить этот параметр? То есть найти меньшее $\sigma^2 = \sigma^2(p)$, для которого $Y$ также была бы сабгауусовой. Я думал, что $\sigma^2 = p(1 - p)$ подойдет, но оказалось, что нет.

Спасибо.

[GAA]

Если это не шутка, то я бы:
1) записал определение субгауссовской случайной величины;
(если это достаточно частное определение, то дальше будет всё просто)
2) подставил бы в неравенство значение математического ожидания для заданной случайной величины;
3) решил бы неравенство.

[stiv1995]

Нужно показать что для любого $\lambda$ $\mathbb{E} \left[e^{\lambda X} \right] \le \exp\left\{\frac{\sigma^2 \lambda^2}{2} + \lambda p\right\}$. То есть, для любого $\lambda$.

$$p e^\lambda + 1 - p \le \exp\left\{\frac{\sigma^2 \lambda^2}{2} + \lambda p\right\}.$$

Понятно что при $\sigma^2 = 1/4$ неравенство выше справедливо. Вопрос в том, справедливо ли это неравенство для более тонкого выбора $\sigma^2$ как функции $p$?

Понятно, что можно определить $\sigma^2$ как

$$\sigma^2 = \inf \left\{t : t > 0 \ \text{ and } \forall \lambda \in \mathbb{R} \ p e^\lambda + 1 - p \le \exp\left\{\frac{t \lambda^2}{2} + \lambda p\right\} \right\}, $$

но хотелось бы найти closed-form оценку.

[Null]

Не похоже что минимум $\frac{\ln(pe^x+1-p)-px}{x^2}$ выражается в элементарных функциях(при $x=0$ оно равно $\frac{1}{2}p(1-p)$ по непрерывности).

[GAA]

stiv1995, на концах отрезка $[0,p]$ можно взять $\sigma^2$ много меньше $1/4$, а вблизи $p=1/2$ чуть меньше $1/4$. Например,

$$\sigma^2 = \frac 1 8 + \frac 1 4 \sqrt {p(1-p)}.$$

Остаётся аккуратно проверить, но красиво у меня не получается.