Рациональная сумма над конечным полем

[nnosipov]

Пусть $p$ и $q>2$ --- различные простые числа, $p \not\equiv 1 \pmod{q}$. Вычислите

$$ \sum_{a \in \mathbb{F}_p}\frac{1}{1+a+\ldots+a^{q-1}}, $$

где $\mathbb{F}_p$ --- поле из $p$ элементов.

[Руст]

Пусть $qs=1\mod p-1$.
Тогда

$$\sum_a \frac{1-a}{1-a^q}=\frac{1}{q}+\sum_{a^q=b\neq 1}\frac{1-b^s}{1-b}=\frac{1}{q}-s=-2s.$$

[nnosipov]

Руст в сообщении #1388198 писал(а):

$$\sum_a \frac{1-a}{1-a^q}=\frac{1}{q}+\sum_{a^q=b\neq 1}\frac{1-b^s}{1-b}=\frac{1}{q}-s=-2s.$$

Последнее равенство, конечно, неверно, но в целом все ОК. (А я вчера, сочиняя эту задачу "из общих соображений", не заметил более простого способа. Так что спасибо )