2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Рациональная сумма над конечным полем
Сообщение16.04.2019, 12:54 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Пусть $p$ и $q>2$ --- различные простые числа, $p \not\equiv 1 \pmod{q}$. Вычислите
$$
\sum_{a \in \mathbb{F}_p}\frac{1}{1+a+\ldots+a^{q-1}},
$$
где $\mathbb{F}_p$ --- поле из $p$ элементов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональная сумма над конечным полем
Сообщение17.04.2019, 08:42 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Пусть $qs=1\mod p-1$.
Тогда $$\sum_a \frac{1-a}{1-a^q}=\frac{1}{q}+\sum_{a^q=b\neq 1}\frac{1-b^s}{1-b}=\frac{1}{q}-s=-2s.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональная сумма над конечным полем
Сообщение17.04.2019, 09:08 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Руст в сообщении #1388198 писал(а):
$$\sum_a \frac{1-a}{1-a^q}=\frac{1}{q}+\sum_{a^q=b\neq 1}\frac{1-b^s}{1-b}=\frac{1}{q}-s=-2s.$$
Последнее равенство, конечно, неверно, но в целом все ОК. (А я вчера, сочиняя эту задачу "из общих соображений", не заметил более простого способа. Так что спасибо :-))

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group