Поиск подходящего неравенства

[Diom]

Извиняюсь за довольно нечеткий вопрос - не подскажете, не существует ли неравенства благодаря которому можно было бы разнести две функции под знаком интеграла. Т.е к примеру неравенство Коши-Буняковского:
\left(\intop_{a}^{b}y\left(t\right)x\left(t\right)dt\right)^{2}\leq\intop_{a}^{b}y\left(t\right)^{2}dt\intop_{a}^{b}x\left(t\right)^{2}dt
Неравенство Коши-Буняковского не устраивает из-за возникновения квадратов в подинтегральных выражениях. Имеются дополнительные сведения о функциях: y(t) и x(t) всегда положительны. То есть хотелось бы получить нечто вроде:
\intop_{a}^{b}\left|y\left(t\right)\right|\left|x\left(t\right)\right|dt\leq F(\intop_{a}^{b}\left|y\left(t\right)\right|dt,\intop_{a}^{b}\left|x\left(t\right)\right|dt)

[RIP]

Не выйдет. Например, берём $x(t)=y(t)=\frac1{\sqrt t}$. Тогда $\int_0^1x(t)y(t)\,dt=+\infty$.

[Diom]

Даже если наложить дополнительное требование: y(t) и x(t) такие, что \intop_{a}^{b}|y(t)||x(t)|dt - конечен?

[RIP]

В принципе разницы нет. Можно взять срезку $x(t)=y(t)=\min\{n;1/\sqrt t\}$, где $n$ настолько большое число, насколько Вашей душе угодно.

Более того, для любых 3 положительных чисел $a,b,c$ можно подобрать положительные функции $x(t),y(t)$, что $\int_0^1x(t)\,dt=a,\int_0^1y(t)\,dt=b,\int_0^1x(t)y(t)\,dt=c$.

[Diom]

Благодарю. Придется мучаться с квадратом.

[Echo-Off]

RIP писал(а):

Более того, для любых 3 положительных чисел $a,b,c$ можно подобрать положительные функции $x(t),y(t)$, что $\int_0^1x(t)\,dt=a,\int_0^1y(t)\,dt=b,\int_0^1x(t)y(t)\,dt=c$.

А почему?

[PAV]

Echo-Off писал(а):

А почему?

Ну, используя идею RIP-а со срезкой, можно на отрезке $[0,\frac{1}{3}]$ сделать интеграл произведения функций равный необходимому числу, при том что интегралы от исходных функций будут достаточно малы. А затем на отрезке $[\frac{1}{3},\frac23]$ полагаем $x(t)=0$, на отрезке $[\frac23,1]$ полагаем $y(t)=0$, так что интеграл произведения не изменится, а на оставшихся отрезках доопределяем исходные функции, чтобы интегралы от них были равны требуемым числам.

[RIP]

Вот только у меня заявлялись положительные функции. Проще всего их построить, если не фиксировать отрезок - тогда вообще можно взять постоянные функции:

$$x(t)=c/b,\ y(t)=c/a,\text{ интервал --- }[0;ab/c].$$

А на отрезке $[0;1]$ можно взять функции $x(t)=a\alpha t^{\alpha-1},y(t)=b\beta t^{\beta-1}$, где $\alpha,\beta$ - положительные числа, связанные условием $ab\alpha\beta=c(\alpha+\beta-1)$, то есть, если положить $k=\frac{ab}c$, $(k\alpha-1)(k\beta-1)=1-k$. Например, $\alpha=\frac1{k^2},\beta=1+\frac1k$.