2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Поиск подходящего неравенства
Сообщение12.04.2008, 20:52 
Аватара пользователя
Извиняюсь за довольно нечеткий вопрос - не подскажете, не существует ли неравенства благодаря которому можно было бы разнести две функции под знаком интеграла. Т.е к примеру неравенство Коши-Буняковского:
\left(\intop_{a}^{b}y\left(t\right)x\left(t\right)dt\right)^{2}\leq\intop_{a}^{b}y\left(t\right)^{2}dt\intop_{a}^{b}x\left(t\right)^{2}dt
Неравенство Коши-Буняковского не устраивает из-за возникновения квадратов в подинтегральных выражениях. Имеются дополнительные сведения о функциях: y(t) и x(t) всегда положительны. То есть хотелось бы получить нечто вроде:
\intop_{a}^{b}\left|y\left(t\right)\right|\left|x\left(t\right)\right|dt\leq F(\intop_{a}^{b}\left|y\left(t\right)\right|dt,\intop_{a}^{b}\left|x\left(t\right)\right|dt)

 
 
 
 
Сообщение12.04.2008, 23:31 
Аватара пользователя
Не выйдет. Например, берём $x(t)=y(t)=\frac1{\sqrt t}$. Тогда $\int_0^1x(t)y(t)\,dt=+\infty$.

 
 
 
 
Сообщение13.04.2008, 00:24 
Аватара пользователя
Даже если наложить дополнительное требование: y(t) и x(t) такие, что \intop_{a}^{b}|y(t)||x(t)|dt - конечен?

 
 
 
 
Сообщение13.04.2008, 00:31 
Аватара пользователя
В принципе разницы нет. Можно взять срезку $x(t)=y(t)=\min\{n;1/\sqrt t\}$, где $n$ настолько большое число, насколько Вашей душе угодно.

Более того, для любых 3 положительных чисел $a,b,c$ можно подобрать положительные функции $x(t),y(t)$, что $\int_0^1x(t)\,dt=a,\int_0^1y(t)\,dt=b,\int_0^1x(t)y(t)\,dt=c$.

 
 
 
 
Сообщение13.04.2008, 01:10 
Аватара пользователя
Благодарю. Придется мучаться с квадратом.

 
 
 
 
Сообщение13.04.2008, 02:02 
Аватара пользователя
RIP писал(а):
Более того, для любых 3 положительных чисел $a,b,c$ можно подобрать положительные функции $x(t),y(t)$, что $\int_0^1x(t)\,dt=a,\int_0^1y(t)\,dt=b,\int_0^1x(t)y(t)\,dt=c$.

А почему?

 
 
 
 
Сообщение13.04.2008, 08:18 
Аватара пользователя
Echo-Off писал(а):
А почему?


Ну, используя идею RIP-а со срезкой, можно на отрезке $[0,\frac{1}{3}]$ сделать интеграл произведения функций равный необходимому числу, при том что интегралы от исходных функций будут достаточно малы. А затем на отрезке $[\frac{1}{3},\frac23]$ полагаем $x(t)=0$, на отрезке $[\frac23,1]$ полагаем $y(t)=0$, так что интеграл произведения не изменится, а на оставшихся отрезках доопределяем исходные функции, чтобы интегралы от них были равны требуемым числам.

 
 
 
 
Сообщение13.04.2008, 10:29 
Аватара пользователя
Вот только у меня заявлялись положительные функции. Проще всего их построить, если не фиксировать отрезок - тогда вообще можно взять постоянные функции:
$$x(t)=c/b,\ y(t)=c/a,\text{ интервал --- }[0;ab/c].$$
А на отрезке $[0;1]$ можно взять функции $x(t)=a\alpha t^{\alpha-1},y(t)=b\beta t^{\beta-1}$, где $\alpha,\beta$ - положительные числа, связанные условием $ab\alpha\beta=c(\alpha+\beta-1)$, то есть, если положить $k=\frac{ab}c$, $(k\alpha-1)(k\beta-1)=1-k$. Например, $\alpha=\frac1{k^2},\beta=1+\frac1k$.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group